/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000096*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.4␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β'␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑W␈α⎇esley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"302␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.4.␈α∩RAD␈α␈I␈α↓X␈α
CONVER␈α␈SI␈α↓O␈α␈N
␈βαj␈↓ ↓H␈ε"I␈↓ ∧/␈ε"had␈α
in␈α␈v␈α␈en␈α␈ted␈α
arithmetic␈α
by␈α∞coun␈α␈ting␈α
with␈↓ 	R␈ε"their␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
|sts
␈βαo␈↓ ↓T␈ε.F␈α
OUR␈α
ANCESTORS
␈ββ∃␈↓ ↓H␈ε"or␈α
their␈αeigh␈α␈t␈α
|ngers,␈αinstead␈αof␈α
their␈αten␈α\digits,"␈αw␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈αnev␈α␈er␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αto␈α
w␈α␈orry
␈ββ@␈↓ ↓H␈ε"about␈α
writing␈α
binary-decimal␈α
con␈α␈v␈α␈ersion␈αroutines.␈α∩(And␈αw␈α␈e␈α
w␈α␈ould␈α
perhaps␈α
nev␈α␈er
␈ββk␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α
learned␈α
as␈α
m␈α␈uch␈α
about␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
systems.)␈α≠In␈α
this␈α
section,␈α
w␈α␈e␈α
shall␈α
discuss
␈β∧↔␈↓ ↓H␈ε"the␈α	con␈α␈v␈α␈ersion␈α	of␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	from␈α	positional␈α	n␈α↓otation␈α	with␈α	one␈α	radix␈α	in␈α␈to␈α	positional
␈β∧B␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓otation␈α
with␈α
an␈α↓other␈α
radix;␈α
this␈α
process␈α
is,␈αof␈α
course,␈α
m␈α↓ost␈α
importan␈α␈t␈α
on␈α
binary
␈β∧m␈↓ ↓H␈ε"computers␈α
when␈αcon␈α␈v␈α␈erting␈α
decimal␈α
input␈αdata␈α
in␈α␈to␈αbinary␈α
form,␈αand␈α
con␈α␈v␈α␈erting
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε"binary␈αansw␈α␈ers␈αin␈α␈to␈αdecimal␈αform.
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε2A.␈α∪The␈α∀four␈α∪basic␈α∀meth␈α↓ods.␈ε"␈α'Binary-decimal␈α∪con␈α␈v␈α␈ersion␈α∀is␈α∀one␈α∪of␈α∀the␈α∪m␈α↓ost
␈βε
␈↓ ↓H␈ε"machine-dependen␈α␈t␈α⊂operations␈α⊂of␈α⊂all,␈α⊃since␈α⊂computer␈α∂designers␈α⊂k␈α␈eep␈α⊂in␈α␈v␈α␈en␈α␈ting
␈βε8␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈αw␈α␈a␈α␈ys␈αto␈αpro␈α␈vide␈αfor␈αit␈αin␈αthe␈αhardw␈α␈are.␈α⊂Therefore␈αw␈α␈e␈αshall␈αdiscuss␈αonly
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"the␈αgeneral␈α
principles␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed,␈α
from␈αwhich␈α
a␈α
programmer␈αcan␈α
select␈α
the␈αproce-
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"dure␈αthat␈αis␈αbest␈αsuited␈αto␈αhis␈αmachine.
␈βπ;␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α
shall␈α∞assume␈α
that␈α∞only␈α
n␈α↓onnegativ␈α␈e␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α
en␈α␈ter␈α∞in␈α␈to␈α
the␈α
con␈α␈v␈α␈ersion,
␈βπf␈↓ ↓H␈ε"since␈αthe␈αmanipulation␈αof␈αsigns␈αis␈αeasily␈αaccoun␈α␈ted␈αfor.
␈βλ∩␈↓ α␈ε"Let␈α	us␈α
assume␈α	that␈α	w␈α␈e␈α
are␈α	con␈α␈v␈α␈erting␈α	from␈α
radix␈ε(␈α	b␈ε"␈α	to␈α
radix␈↓ 	∨␈ε(B␈↓ 	;␈ε".␈α∂(The␈α	meth␈α↓ods
␈βλ>␈↓ ↓H␈ε"can␈α
also␈αbe␈α
generalized␈αto␈αmixed-radix␈α
n␈α↓otations,␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈α
in␈αexercises␈α
1␈αand␈α
2.)
␈βλi␈↓ ↓H␈ε"Most␈α∞radix-con␈α␈v␈α␈ersion␈α∞routines␈α∞are␈α∞based␈α∞on␈α∞m␈α␈ultiplication␈α∂and␈α∞division,␈α∞using
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε"one␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αfour␈αschemes:
␈β	]␈↓ α␈ε"1)␈αCon␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αin␈α␈tegers␈α(radix␈αpoin␈α␈t␈αat␈αthe␈αrigh␈α␈t).
␈β
'␈↓ ↓H␈ε6∂␈ε"␈α	Meth␈α↓od␈α	(1a)␈ε/␈α
Division␈α	by␈↓ ∧c␈ε(B␈↓ ¬λ␈ε"(using␈α	radix-␈ε(b␈ε"␈α
arithmetic).␈α∂Giv␈α␈en␈α
an␈α	in␈α␈teger␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β
R␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α␈,␈αw␈α␈e␈αcan␈αobtain␈αits␈αradix-␈↓ ∧i␈ε(B␈↓ ¬⊃␈ε"represen␈α␈tation␈α(␈↓ πλ␈ε(U␈↓ πI␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πy␈ε(U␈↓ λ#␈ε(U␈↓ λL␈ε")␈↓ λ|␈ε"as␈αfollo␈α␈ws:
␈β
↑␈↓ π!␈ε+M␈↓ λ∩␈ε%1␈↓ λ;␈ε%0␈↓ λX␈ε+B
␈β'␈↓ ¬␈ε(U␈↓ ¬3␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ ¬|␈ε"mod␈↓ εF␈ε(B
␈β3␈↓ ¬→␈ε%0
␈β]␈↓ ¬␈ε(U␈↓ ¬3␈ε"=␈ε6␈α
b␈ε(u␈ε"/␈↓ ε⊗␈ε(B␈↓ ε2␈ε6c␈↓ εF␈ε"mod␈↓ π⊂␈ε(B
␈βi␈↓ ¬→␈ε%1
␈β∪␈↓ ¬␈ε(U␈↓ ¬3␈ε"=␈ε6␈α
bb␈ε(u␈ε"/␈↓ ε$␈ε(B␈↓ ε@␈ε6c␈ε"/␈↓ ε`␈ε(B␈↓ ε{␈ε6c␈↓ π∂␈ε"mod␈↓ πY␈ε(B
␈β∨␈↓ ¬→␈ε%2
␈βI␈↓ ∧␈␈ε".␈αε.␈αε.
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε"etc.,␈αstopping␈αwhen␈ε6␈αb␈↓ ∧~␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧J␈ε6bb␈ε(u␈ε"␈α␈/␈↓ ¬␈ε(B␈↓ ¬(␈ε6c␈ε"/␈↓ ¬H␈ε(B␈↓ ¬d␈ε6c␈↓ ¬x␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε(␈ε"/␈↓ ε:␈ε(B␈↓ εU␈ε6c␈ε"␈α
=␈α
0.
␈β
←␈↓ ↓H␈ε6∂␈ε"␈α⊃Meth␈α↓od␈α⊃(1b)␈ε/␈α∩Multiplication␈α⊃by␈↓ ¬p␈ε(b␈ε"␈α⊃(using␈α∩radix-␈↓ π↑␈ε(B␈↓ λ␈ε"arithmetic).␈α#If␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α⊃has␈α⊃the
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"radix-␈ε(b␈↓ α@␈ε"represen␈α␈tation␈α(␈↓ ∧7␈ε(u␈↓ ∧n␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬≡␈ε(u␈↓ ¬D␈ε(u␈↓ ¬i␈ε")␈↓ ε∧␈ε",␈αw␈α␈e␈αcan␈αuse␈αradix-␈↓ λ+␈ε(B␈↓ λR␈ε"arithmetic␈αto␈αev␈α}aluate
␈β∞↔␈↓ ∧L␈ε+m␈↓ ¬3␈ε%1␈↓ ¬X␈ε%0␈↓ ¬u␈ε+b
␈β∞0␈↓ ∧␈ε+m
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε"the␈αpolyn␈α↓omial␈↓ β@␈ε(u␈↓ βq␈ε(b␈↓ ∧$␈ε"+␈↓ ∧P␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬α␈ε"+␈↓ ¬.␈ε(u␈↓ ¬T␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ ε↔␈ε(u␈↓ εF␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"␈αin␈αthe␈αform
␈β∞B␈↓ βT␈ε+m␈↓ ¬C␈ε%1␈↓ ε,␈ε%0
␈β∞q␈↓ β]␈ε↓␈␈↓ λ⊂␈ε↓↓
␈β∂⊂␈↓ βk␈ε"(␈↓ β⎇␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈ε"(␈↓ ∧9␈ε(u␈↓ ∧o␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ ¬2␈ε(u␈↓ ε⊂␈ε")␈ε(␈αεb␈ε"␈αλ+␈↓ εe␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∃␈ε")␈ε(␈αεb␈ε"␈αλ+␈↓ πj␈ε(u␈↓ λ$␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ λg␈ε(u␈↓ 	
␈ε".
␈β∂≤␈↓ ∧N␈ε+m␈↓ ¬G␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ π␈␈ε%1␈↓ λ|␈ε%0
␈β∂k␈↓ α␈ε"2)␈αCon␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αfractions␈α(radix␈α
poin␈α␈t␈αat␈αthe␈αle$).␈α∃Note␈αthat␈αit␈αis␈αo$en␈α
im-
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"possible␈α
to␈α
express␈α
a␈α
terminating␈α
radix-␈ε(b␈ε"␈α∞fraction␈α
(0.␈↓ λ	␈ε(u␈↓ λL␈ε(u␈↓ 	∃␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	E␈ε(u␈↓ 
∀␈ε")␈↓ 
;␈ε/exactly
␈β⊂#␈↓ λ≡␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λa␈ε9␈␈ε%2␈↓ 	Z␈ε9␈␈ε+m␈↓ 
 ␈ε+b
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"as␈α	a␈α	terminating␈α	radix-␈↓ ∧+␈ε(B␈↓ ∧P␈ε"fraction␈α	(0.␈↓ ¬{␈ε(U␈↓ εB␈ε(U␈↓ π⊂␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π@␈ε(U␈↓ λ_␈ε")␈↓ λ<␈ε".␈α∂F␈α⎇or␈α	example,␈α
the␈α	frac-
␈β⊂N␈↓ ε∀␈ε9␈␈ε%1␈↓ ε[␈ε9␈␈ε%2␈↓ πX␈ε9␈␈↓ πv␈ε+M␈↓ λ$␈ε+B
␈β⊂h␈↓ α≥␈ε%1
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"tion␈↓ αC␈ε"has␈αthe␈αin|nite␈αbinary␈αrepresen␈α␈tation␈α(0.0001100110011␈↓ 	.␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	↑␈ε")␈↓ 	{␈ε".␈α∂Therefore
␈β⊂y␈↓ 	j␈ε%2
␈β⊂}␈↓ α∃␈ε%1␈α↓0
␈β⊃↓␈↓ α∃␈∧⊃↓α∃α∨
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"meth␈α↓ods␈αof␈αrounding␈αthe␈αresult␈αto␈↓ ¬i␈ε(M␈↓ ε≥␈ε"places␈αare␈αsometimes␈αnecessary.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.4␈↓ 
v␈ε"303
␈β↓\␈↓ πr␈ε∞RA␈α↓DIX␈α
CONV␈α↓ERS␈α␈ION
␈βα"␈↓ ↓H␈ε6∂␈ε"␈α
Meth␈α↓od␈α
(2a)␈ε/␈α
Multiplication␈α
by␈↓ ¬F␈ε(B␈↓ ¬k␈ε"(using␈α
radix-␈ε(b␈ε"␈α
arithmetic).␈α∩Giv␈α␈en␈α
a␈α
fractional
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α	u␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
can␈α	obtain␈α
the␈α
digits␈α	of␈α
its␈α	radix-␈↓ π ␈ε(B␈↓ πF␈ε"represen␈α␈tation␈α	(.␈↓ 	D␈ε(U␈↓ 
␈ε(U␈↓ 
X␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λ␈ε")
␈βαZ␈↓ 	]␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 
$␈ε9␈␈ε%2␈↓ ∀␈ε+B
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"as␈αfollo␈α␈ws:
␈ββ↔␈↓ ¬∃␈ε(U␈↓ ¬f␈ε"=␈ε6␈α
b␈ε(u␈↓ ε7␈ε(B␈↓ εR␈ε6c
␈ββ$␈↓ ¬.␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈ββM␈↓ ¬∃␈ε(U␈↓ ¬f␈ε"=␈ε6␈α
bf␈ε(u␈↓ εI␈ε(B␈↓ εd␈ε6g␈↓ εv␈ε(B␈↓ π∩␈ε6c
␈ββZ␈↓ ¬.␈ε9␈␈ε%␈α␈2
␈β∧β␈↓ ¬∃␈ε(U␈↓ ¬f␈ε"=␈ε6␈α
bff␈ε(u␈↓ ε[␈ε(B␈↓ εv␈ε6g␈↓ πλ␈ε(B␈↓ π$␈ε6g␈↓ π6␈ε(B␈↓ πQ␈ε6c
␈β∧⊂␈↓ ¬.␈ε9␈␈ε%␈α␈3
␈β∧9␈↓ ¬2␈ε".␈αε.␈αε.
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε"where␈ε6␈α∂f␈ε(x␈ε6g␈ε"␈α∂den␈α↓otes␈ε(␈α∂x␈↓ ∧~␈ε"mod␈↓ ∧d␈ε"1␈α∂=␈ε(␈α∂x␈ε6␈α
␈␈α
b␈ε(x␈ε6c␈ε".␈α~If␈α∂it␈α∂is␈α∂desired␈α∂to␈α∂round␈α∂the␈α∂result␈α∂to
␈β¬∩␈↓ ↓H␈ε(M␈↓ ↓|␈ε"places,␈αthe␈αcomputation␈αcan␈αbe␈αstopped␈αa$er␈↓ πI␈ε(U␈↓ λ-␈ε"has␈αbeen␈αcalculated,␈αand
␈β¬∨␈↓ πa␈ε9␈␈↓ π␈␈ε+M
␈β¬9␈↓ ∂␈ε%1
␈β¬=␈↓ ↓H␈ε(U␈↓ α1␈ε"sh␈α↓ould␈α⊂be␈α⊂increased␈α⊃by␈α⊂unit␈α␈y␈α⊂if␈ε6␈α⊃f␈↓ εU␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π¬␈ε6ff␈ε(u␈↓ π=␈ε(B␈↓ πY␈ε6g␈↓ πk␈ε(B␈↓ λε␈ε6g␈↓ λ≡␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ λN␈ε(B␈↓ λj␈ε6g␈ε"␈α⊂is␈α⊃greater␈α⊂than␈↓ "␈ε".
␈β¬J␈↓ ↓`␈ε9␈␈↓ ↓}␈ε+M
␈β¬N␈↓ ∂␈ε%2
␈β¬R␈↓ ∂␈∧¬R∂α⊂
␈β¬i␈↓ ↓H␈ε"(Note,␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αthat␈αthis␈α
ma␈α␈y␈αcause␈α
carries␈αto␈α
propagate,␈αand␈α
these␈αcarries␈α
m␈α␈ust
␈βε∀␈↓ ↓H␈ε"be␈α
incorporated␈α∞in␈α␈to␈α
the␈α∞answ␈α␈er␈α
using␈α∞radix-␈↓ π
␈ε(B␈↓ π6␈ε"arithmetic.␈α∃It␈α
w␈α␈ould␈α∞be␈α
simpler
␈βε9␈↓ ∧R␈ε9␈␈↓ ∧o␈ε+M
␈βε:␈↓ ∧#␈ε%1
␈βε?␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊃add␈α∩the␈α⊃constan␈α␈t␈↓ ∧6␈ε(B␈↓ ¬#␈ε"to␈α⊃the␈α∩original␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α⊃before␈α∩the␈α⊃calculation
␈βεP␈↓ ∧#␈ε%2
␈βεS␈↓ ∧#␈∧εS∧#α⊂
␈βεd␈↓ 	F␈ε9␈␈↓ 	d␈ε+M
␈βεf␈↓ 	_␈ε%1
␈βεj␈↓ ↓H␈ε"begins,␈αbut␈αthis␈αma␈α␈y␈αlead␈αto␈αa␈αterribly␈αincorrect␈αansw␈α␈er␈αwhen␈↓ 	+␈ε(B␈↓ 
∩␈ε"cann␈α↓ot␈αbe
␈βε{␈↓ 	_␈ε%2
␈βε}␈↓ 	_␈∧ε}	_α⊂
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈ted␈αexactly␈αas␈αa␈αradix-␈ε(b␈ε"␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αinside␈αthe␈αcomputer.␈α⊂Note␈αfurther␈αthat
␈βπ;␈↓ λv␈ε+m␈↓ 	x␈ε+M
␈βπA␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αpossible␈αfor␈αthe␈αansw␈α␈er␈αto␈αround␈αup␈αto␈α(1.00␈↓ πI␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ πy␈ε"0␈↓ λ␈ε")␈↓ λ/␈ε",␈αif␈↓ λg␈ε(b␈↓ 	≤␈ε6∃␈ε"␈α
2␈↓ 	\␈ε(B␈↓ 
~␈ε".)
␈βπM␈↓ λ↔␈ε+B
␈βπl␈↓ α␈ε"Exercise␈α
3␈α	sh␈α↓o␈α␈ws␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α	to␈α
extend␈α	this␈α
meth␈α↓od␈α	so␈α
that␈↓ λ8␈ε(M␈↓ λj␈ε"is␈ε/␈α
v␈α}ariable␈ε",␈α
just␈α	large
␈βλ↔␈↓ ↓H␈ε"en␈α↓ough␈αto␈αrepresen␈α␈t␈αthe␈αoriginal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αto␈αa␈αspeci|ed␈αaccuracy;␈αin␈αthis␈αcase␈αthe
␈βλB␈↓ ↓H␈ε"problem␈αof␈αcarries␈αdoes␈αn␈α↓ot␈αoccur.
␈βλy␈↓ ↓H␈ε6∂␈ε"␈α∂Meth␈α↓od␈α∂(2b)␈ε/␈α⊂Division␈α∂by␈ε(␈α∂b␈ε"␈α⊂(using␈α∂radix-␈↓ εm␈ε(B␈↓ π_␈ε"arithmetic).␈α∨If␈ε(␈α∂u␈ε"␈α⊂has␈α∂the␈α∂radix-␈ε(b
␈β	$␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈tation␈α(0.␈↓ β[␈ε(u␈↓ ∧≡␈ε(u␈↓ ∧g␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬↔␈ε(u␈↓ ¬f␈ε")␈↓ ε␈ε",␈αw␈α␈e␈αcan␈αuse␈α
radix-␈↓ λ*␈ε(B␈↓ λQ␈ε"arithmetic␈αto␈αev␈α}aluate
␈β	0␈↓ βp␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ ∧3␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ ¬,␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈↓ ¬r␈ε+b
␈β	I␈↓ α~␈ε9␈␈ε%1␈↓ βO␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ ¬m␈ε9␈␈ε+m
␈β	O␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ α␈ε(b␈↓ αP␈ε"+␈↓ α|␈ε(u␈↓ β@␈ε(b␈↓ ∧¬␈ε"+␈↓ ∧1␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧c␈ε"+␈↓ ¬∂␈ε(u␈↓ ¬↑␈ε(b␈↓ ε3␈ε"in␈αthe␈αform
␈β	\␈↓ ↓\␈ε9␈␈ε%1␈↓ β⊃␈ε9␈␈ε%2␈↓ ¬$␈ε9␈␈ε+m
␈β	p␈↓ β≠␈ε↓␈␈↓ 	 ␈ε↓↓
␈β
∂␈↓ β)␈ε"(␈↓ β;␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ βk␈ε"(␈↓ βw␈ε(u␈↓ ∧F␈ε"/␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ ¬≠␈ε(u␈↓ ¬y␈ε")/␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ εZ␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π␈ε"+␈↓ π8␈ε(u␈↓ π{␈ε")/␈ε(b␈ε"␈αλ+␈↓ λ\␈ε(u␈↓ 	.␈ε"/␈ε(b␈ε".
␈β
≠␈↓ ∧␈ε9␈␈ε+m␈↓ ¬0␈ε%1␈ε9␈␈ε+m␈↓ πM␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ λq␈ε9␈␈ε%1
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"Care␈α∂sh␈α↓ould␈α∂be␈α∂tak␈α␈en␈α∂to␈α∂con␈α␈trol␈α∂errors␈α⊂that␈α∂migh␈α␈t␈α∂occur␈α∂due␈α∂to␈α∂truncation␈α∂or
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"rounding␈αin␈αthe␈αdivision␈αby␈ε(␈αb␈ε";␈αthese␈αare␈αo$en␈αnegligible,␈αbut␈αn␈α↓ot␈αalw␈α␈a␈α␈ys.
␈β1␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α
summarize,␈α∞Meth␈α↓ods␈α
(1a),␈α∞(1b),␈α
(2a),␈α∞and␈α
(2b)␈α
giv␈α␈e␈α
us␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
ch␈α↓oices␈α
for␈α
a
␈β\␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersion␈α
process,␈α
depending␈αon␈α
whether␈α
our␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
is␈αan␈α
in␈α␈teger␈α
or␈α
a␈α
fraction.
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"And␈α
it␈α
is␈α
certainly␈α
possible␈α
to␈α∞con␈α␈v␈α␈ert␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
in␈α␈tegers␈α
and␈α
fractions␈α
by␈α
m␈α␈ulti-
␈β2␈↓ ↓H␈ε"plying␈α
or␈αdividing␈α
by␈αan␈α
appropriate␈αpo␈α␈w␈α␈er␈αof␈ε(␈α
b␈ε"␈αor␈↓ π↑␈ε(B␈↓ πy␈ε";␈αtherefore␈αthere␈α
are␈αat␈α
least
␈β]␈↓ ↓H␈ε"four␈αmeth␈α↓ods␈αto␈αch␈α↓o␈α↓ose␈αfrom␈αwhen␈αtrying␈αto␈αdo␈αa␈αcon␈α␈v␈α␈ersion.
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε2B.␈α
Single-precision␈α
con␈α␈v␈α␈ersion.␈ε"␈α≤T␈α⎇o␈α
illustrate␈α∞these␈α
four␈α
meth␈α↓ods,␈α∞let␈α
us␈α
assume
␈β
?␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α←␈ε"is␈α∞a␈α∞binary␈α∂computer,␈α∞and␈α∂suppose␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈an␈α␈t␈α∂to␈α∞con␈α␈v␈α␈ert␈α∞a␈α∞binary
␈β
A␈↓ α_␈ε5MIX
␈β
k␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger␈ε(␈αu␈ε"␈α
to␈α
a␈αdecimal␈α
in␈α␈teger.␈α∩Th␈α␈us␈ε(␈α
b␈ε"␈α=␈α2␈αand␈↓ πC␈ε(B␈↓ πj␈ε"=␈α10.␈α∩Meth␈α↓od␈α
(1a)␈α
could␈αbe
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈ε"programmed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∞M␈↓ β>␈ε5ENT1␈↓ ∧≥␈ε50␈↓ ¬l␈ε#Set␈↓ ε&␈ε)j␈↓ ε?␈ε7␈ ␈ε#␈α	0.
␈β∞u␈↓ β>␈ε5LDX␈↓ ∧≥␈ε5U
␈β∂≥␈↓ β>␈ε5ENTA␈↓ ∧≥␈ε50␈↓ ¬l␈ε#Set␈↓ ε&␈ε#rAX␈↓ εl␈ε7␈ ␈ε)␈α
u␈ε#.
␈β∂D␈↓ β¬␈ε51H␈↓ β>␈ε5DIV␈↓ ∧≥␈ε5=␈α␈10=␈↓ ¬l␈ε#(␈↓ ¬x␈ε#r␈α␈A␈↓ ε≥␈ε#,␈↓ ε+␈ε#rX␈↓ εP␈ε#)␈ε7␈α
␈ ␈ε#␈α	(␈ε7b␈↓ π'␈ε#rAX␈↓ πd␈ε#/10␈ε7␈α␈c␈ε#,␈↓ λ2␈ε#rAX␈↓ λu␈ε#m␈α␈od␈↓ 	9␈ε#10␈α␈).
␈β∂W␈↓ α␈ε"(1)
␈β∂l␈↓ β>␈ε5STX␈↓ ∧≥␈ε5A␈α␈NSWER,1␈↓ ¬l␈ε)U␈↓ ε~␈ε7␈ ␈↓ εE␈ε#rX␈↓ εj␈ε#.
␈β∂w␈↓ εβ␈ε,j
␈β⊂∪␈↓ β>␈ε5INC1␈↓ ∧≥␈ε51␈↓ ¬l␈ε)j␈↓ ε¬␈ε7␈ ␈↓ ε0␈ε)j␈↓ εG␈ε#+␈αλ1␈α␈.
␈β⊂;␈↓ β>␈ε5SRAX␈↓ ∧≥␈ε55␈↓ ¬l␈ε#rAX␈↓ ε3␈ε7␈ ␈↓ ε]␈ε#rA␈↓ πα␈ε#.
␈β⊂c␈↓ β>␈ε5JXP␈↓ ∧≥␈ε51␈α␈B␈↓ ¬l␈ε#Repe␈α␈at␈αun␈α}til␈αres␈α␈ult␈αi␈α↓s␈αz␈α␈ero.
␈β⊂j␈↓ 	∃␈∧⊂j	∃≠∂
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"This␈αrequires␈α18␈↓ βD␈ε(M␈↓ βt␈ε"+␈αλ4␈αcy␈α␈cles␈αto␈αobtain␈↓ ε@␈ε(M␈↓ εu␈ε"digits.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"304␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"The␈α∩abo␈α␈v␈α␈e␈α∩meth␈α↓od␈α⊃uses␈α∩division␈α∩by␈α∩10;␈α∀Meth␈α↓od␈α∩(2a)␈α∩uses␈ε/␈α⊃m␈α␈ultiplication
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"by␈α
10,␈α
so␈α
it␈α
migh␈α␈t␈αbe␈α
a␈α
little␈α
faster.␈α∪In␈α
order␈α
to␈α
use␈α
Meth␈α↓od␈α(2a),␈α∞w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈αdeal
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"with␈αfractions,␈αand␈αthis␈αleads␈αto␈αan␈αin␈α␈teresting␈αsituation.␈α⊂Let␈↓ 	
␈ε(w␈↓ 	0␈ε"be␈αthe␈αw␈α␈ord␈αsize
␈ββ≡␈↓ ε\␈ε+n
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αcomputer,␈αand␈αassume␈αthat␈ε(␈α
u␈ε"␈α
<␈α
1␈↓ εJ␈ε"0␈↓ εz␈ε"<␈↓ π(␈ε(w␈↓ πC␈ε".␈α⊃With␈αa␈αsingle␈αdivision␈αw␈α␈e␈αcan
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"|nd␈↓ α⊂␈ε(q␈↓ α/␈ε"and␈↓ αu␈ε(r␈↓ β¬␈ε",␈αwhere
␈β∧~␈↓ ¬4␈ε+n␈↓ λ.␈ε+n
␈β∧"␈↓ ∧(␈ε(w␈↓ ∧C␈ε(u␈ε"␈α
=␈α
1␈↓ ¬"␈ε"0␈↓ ¬H␈ε(q␈↓ ¬c␈ε"+␈↓ ε∂␈ε(r␈↓ ε∨␈ε",␈↓ εw0␈ε6␈α
∀␈↓ πA␈ε(r␈↓ π\␈ε"<␈α
1␈↓ λ≤␈ε"0␈↓ λB␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈β∧t␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈α
if␈αw␈α␈e␈αapply␈αMeth␈α↓od␈α
(2a)␈αto␈αthe␈αfraction␈α
(␈↓ π∩␈ε(q␈↓ π+␈ε"+␈αε1)/␈↓ λ¬␈ε(w␈↓ λ∨␈ε",␈αw␈α␈e␈αwill␈αobtain␈αthe␈α
digits
␈β¬∨␈↓ ↓H␈ε"of␈ε(␈αu␈ε"␈αfrom␈αle$␈αto␈αrigh␈α␈t,␈αin␈ε(␈αn␈ε"␈αsteps,␈αsince
␈β¬h␈↓ π⊗␈ε+n
␈β¬l␈↓ ∧~␈ε↓⊗␈↓ ¬N␈ε↓↔␈↓ ε⊗␈ε↓⊗␈↓ πs␈ε↓↔
␈β¬n␈↓ ∧p␈ε(q␈↓ ¬␈ε"+␈αλ1␈↓ εr␈ε"1␈↓ π∧␈ε"0␈↓ π3␈ε6␈␈↓ π←␈ε(r
␈β¬}␈↓ ∧N␈ε+n
␈βεε␈↓ ∧*␈ε"1␈↓ ∧<␈ε"0␈↓ ¬h␈ε"=␈↓ ε&␈ε(u␈ε"␈απ+␈↓ λ
␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε".␈↓ α␈ε"(3)
␈βε~␈↓ ∧p␈∧ε~∧pαZ␈↓ εr␈∧ε~εrα⎇
␈βε∨␈↓ ¬⊂␈ε(w␈↓ π#␈ε(w
␈βεn␈↓ ↓H␈ε"(This␈α
idea␈α∞is␈α
due␈α∞to␈α
P.␈α∞A.␈↓ ∧n␈ε"Samet,␈ε/␈α∞So$␈α␈w␈α␈are←Practice␈α∞and␈α
Experience␈ε2␈α∞1␈ε"␈α
(1971),
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε"93↑96.)
␈βπD␈↓ α␈ε"Here␈αis␈αthe␈αcorresponding␈↓ ¬m␈ε"program:
␈βπF␈↓ ¬(␈ε5MIX
␈βλ∂␈↓ β∪␈ε5JOV␈↓ βr␈ε5OFLO␈↓ ¬B␈ε#Ensu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αi␈α↓s␈αo␈α␈{.
␈βλ6␈↓ β∪␈ε5LDA␈↓ βr␈ε5U
␈βλX␈↓ ∧&␈ε,n␈↓ π1␈ε,n
␈βλ↑␈↓ β∪␈ε5LDX␈↓ βr␈ε5=␈ε#1␈↓ ∧⊗␈ε#0␈↓ ∧8␈ε5=␈↓ ¬B␈ε#rAX␈↓ ελ␈ε7␈ ␈↓ ε3␈ε)w␈↓ εL␈ε)u␈ε#␈αλ+␈απ1␈↓ π ␈ε#0␈↓ πC␈ε#.
␈β	␈↓ ∧&␈ε,n
␈β	ε␈↓ β∪␈ε5DIV␈↓ βr␈ε5=␈ε#1␈↓ ∧⊗␈ε#0␈↓ ∧8␈ε5=␈↓ ¬B␈ε#rA␈↓ ¬p␈ε7␈ ␈↓ ε≠␈ε)q␈↓ ε4␈ε#+␈αλ1␈α␈,␈↓ πα␈ε#rX␈↓ π0␈ε7␈ ␈↓ πZ␈ε)r␈↓ πj␈ε#.
␈β	'␈↓ π&␈ε,n
␈β	-␈↓ β∪␈ε5JOV␈↓ βr␈ε5ERROR␈↓ ¬B␈ε#Ju␈α␈mp␈α
i␈α↓f␈ε)␈αu␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	1␈↓ π⊗␈ε#0␈↓ π9␈ε#.
␈β	T␈↓ α␈ε"(4)
␈β	U␈↓ β∪␈ε5ENT1␈↓ βr␈ε)n␈ε5-1␈↓ ¬B␈ε#S␈α␈et␈↓ ¬{␈ε)j␈↓ ε∀␈ε7␈ ␈ε)␈α
n␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1.
␈β	|␈↓ α[␈ε52H␈↓ β∪␈ε5MUL␈↓ βr␈ε5=10=␈↓ ¬B␈ε#No␈α␈w␈αima␈α␈gine␈αra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈t␈αl␈α↓e␈α␈$,␈↓ 	%␈ε#rA␈↓ 	S␈ε#=␈ε)␈α
x␈ε#␈α␈.
␈β
$␈↓ β∪␈ε5STA␈↓ βr␈ε5ANSWE␈α␈R,1␈↓ ¬B␈ε#S␈α␈et␈↓ ¬{␈ε)U␈↓ ε)␈ε7␈ ␈α	b␈ε#10␈ε)x␈ε7␈α␈c␈ε#.
␈β
0␈↓ ε∩␈ε,j
␈β
L␈↓ β∪␈ε5SLAX␈↓ βr␈ε55␈↓ ¬B␈ε)x␈ε7␈α	␈ ␈α	f␈ε#1␈α␈0␈ε)x␈ε7g␈ε#␈α␈.
␈β
s␈↓ β∪␈ε5DEC1␈↓ βr␈ε51␈↓ ¬B␈ε)j␈↓ ¬[␈ε7␈ ␈↓ ε¬␈ε)j␈↓ ε≤␈ε7␈␈ε#␈αλ1.
␈β≠␈↓ β∪␈ε5J1NN␈↓ βr␈ε52B␈↓ ¬B␈ε#Rep␈α␈eat␈αfo␈α␈r␈ε)␈αn␈ε#␈α
>␈↓ π1␈ε)j␈↓ πI␈ε7∃␈ε#␈α
0.
␈β"␈↓ λ3␈∧"λ3≠∂
␈βc␈↓ ↓H␈ε"This␈αsligh␈α␈tly␈αlonger␈α
routine␈αrequires␈α16␈ε(n␈ε"␈αλ+␈α	19␈αcy␈α␈cles,␈αso␈α
it␈αis␈αa␈α
little␈αfaster␈αthan
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"program␈α(1)␈αif␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈↓ β⎇␈ε(M␈↓ ∧0␈ε6∃␈ε"␈α
8;␈αwhen␈αleading␈αzeros␈αare␈αpresen␈α␈t,␈α(1)␈αwill␈αbe␈αfaster.
␈β3␈↓ 
2␈ε+m
␈β9␈↓ α␈ε"Program␈α(4)␈αas␈α
it␈αstands␈αcann␈α↓ot␈αbe␈αused␈αto␈αcon␈α␈v␈α␈ert␈α
in␈α␈tegers␈ε(␈αu␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈↓ 
 ␈ε"0␈↓ 
Z␈ε"when
␈β←␈↓ ↓l␈ε+m␈↓ β?␈ε+m␈ε%␈α␈+1
␈βe␈↓ ↓H␈ε"1␈↓ ↓Z␈ε"0␈↓ α∀␈ε"<␈↓ αD␈ε(w␈↓ αk␈ε"<␈α1␈↓ β-␈ε"0␈↓ ∧λ␈ε",␈α
since␈α
w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α
need␈α
to␈α
tak␈α␈e␈ε(␈α
n␈ε"␈α=␈ε(␈αm␈ε"␈α	+␈αλ1.␈α∀In␈α
this␈α
case␈α
w␈α␈e
␈β
␈↓ λπ␈ε+m␈↓ 
 ␈ε+m
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"can␈αobtain␈αthe␈αleading␈αdigit␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈α
by␈αcomputing␈ε6␈αb␈ε(u␈ε"/1␈↓ πu␈ε"0␈↓ λ#␈ε6c␈ε";␈αthen␈ε(␈αu␈↓ 	2␈ε"mod␈↓ 	|␈ε"1␈↓ 
∞␈ε"0␈↓ 
G␈ε"can␈αbe
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈erted␈αas␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αwith␈ε(␈αn␈ε"␈α	=␈ε(␈α
m␈ε".
␈β
f␈↓ α␈ε"The␈α∞fact␈α∞that␈α∞the␈α∞answ␈α␈er␈α∞digits␈α∞are␈α∞obtained␈α∞from␈α∞le$␈α∞to␈α∞righ␈α␈t␈α∞ma␈α␈y␈α∞be␈α∞an
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"adv␈α}an␈α␈tage␈α∞in␈α∂some␈α∞applications␈α∞(e.g.,␈α∂when␈α∂t␈α␈yping␈α∞out␈α∂the␈α∞answ␈α␈er␈α∂one␈α∞digit␈α∞at
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"a␈α∂time).␈α~Th␈α␈us␈α⊂w␈α␈e␈α∂see␈α⊂that␈α∂a␈α∂fractional␈α⊂meth␈α↓od␈α∂can␈α⊂be␈α∂used␈α⊂for␈α∂con␈α␈v␈α␈ersion␈α∂of
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers,␈α∩alth␈α↓ough␈α⊂the␈α⊃use␈α⊃of␈α⊂inexact␈α⊃division␈α⊃mak␈α␈es␈α⊃a␈α⊂little␈α⊃bit␈α⊃of␈α⊂n␈α␈umerical
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"analysis␈αnecessary.
␈β∂>␈↓ α␈ε"A␈α∩m␈α↓odi|cation␈α∩of␈α⊃Meth␈α↓od␈α∩(1a)␈α∩can␈α∩be␈α⊃used␈α∩to␈α∩a␈α␈v␈α␈oid␈α∩division␈α⊃by␈α∩10,␈α∪by
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"replacing␈α∞it␈α∞with␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞m␈α␈ultiplications.␈α⊗It␈α∞is␈α∞w␈α␈orth␈α∞men␈α␈tioning␈α∞this␈α∞m␈α↓odi|cation
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"here,␈αbecause␈αradix␈αcon␈α␈v␈α␈ersion␈αis␈αo$en␈αdone␈αby␈αsmall␈α\satellite"␈αcomputers␈αthat
␈β⊂;␈↓ 
β␈ε%1
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃n␈α↓o␈α⊂division␈α⊃capabilit␈α␈y.␈α∨If␈α⊃w␈α␈e␈α⊃let␈ε(␈α⊃x␈ε"␈α⊃be␈α⊂an␈α⊃appro␈α␈ximation␈α⊃to␈↓ 
≥␈ε",␈α∪so␈α⊂that
␈β⊂Q␈↓ 	{␈ε%10
␈β⊂T␈↓ 	{␈∧⊂T	{α∨
␈β⊂f␈↓ ↓S␈ε%1␈↓ ββ␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓y␈ε"<␈ε(␈αx␈ε"␈α<␈↓ β'␈ε"+␈αλ1/␈↓ βw␈ε(w␈↓ ∧∩␈ε",␈α
it␈α
is␈α
easy␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
(see␈α
exercise␈α7)␈α
that␈ε6␈α
b␈ε(ux␈ε6c␈ε"␈α=␈ε6␈αb␈ε(u␈ε"/10␈ε6c␈ε"␈αor
␈β⊂|␈↓ ↓L␈ε%10␈↓ α|␈ε%10
␈β⊂␈␈↓ ↓L␈∧⊂␈↓Lα∨␈↓ α|␈∧⊂␈α|α∨
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε6b␈ε(u␈ε"␈α␈/10␈ε6c␈ε"␈α
+␈α	1,␈α∞so␈α∞long␈α∞as␈α∞0␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
u␈ε"␈α
<␈↓ ¬↑␈ε(w␈↓ ¬y␈ε".␈α∃Therefore,␈α∂if␈α
w␈α␈e␈α∞compute␈ε(␈α∞u␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	10␈ε6b␈ε(ux␈ε6c␈ε",␈α∞w␈α␈e
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.4␈↓ 
v␈ε"305
␈β↓\␈↓ πr␈ε∞RA␈α↓DIX␈α
CONV␈α↓ERS␈α␈ION
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"will␈αbe␈αable␈αto␈αdetermine␈αthe␈αv␈α}alue␈αof␈ε6␈αb␈ε(u␈ε"␈α␈/10␈ε6c␈ε":
␈βαy␈↓ ∧z␈ε↓~␈↓ ¬⊂␈ε6b␈ε(ux␈ε6c␈ε",␈↓ εm␈ε"if␈ε(␈αu␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈ε6b␈ε(ux␈ε6c␈α
∃␈ε"␈α
0;
␈ββ∩␈↓ β\␈ε6b␈ε(u␈ε"␈α␈/10␈ε6c␈ε"␈α
=␈↓ α␈ε"(5)
␈ββ,␈↓ ¬⊂␈ε6b␈ε(ux␈ε6c␈αλ␈␈ε"␈αλ1,␈↓ εm␈ε"if␈ε(␈αu␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈ε6b␈ε(ux␈ε6c␈ε"␈α
<␈α
0.
␈β∧↓␈↓ ↓H␈ε"This␈αprocedure␈αsim␈α␈ultaneously␈αdetermines␈ε(␈αu␈↓ πβ␈ε"mod␈↓ πM␈ε"10.␈α∂A␈↓ λt␈ε"program␈αfor␈αcon␈α␈v␈α␈er-
␈β∧β␈↓ λ0␈ε5MIX
␈β∧,␈↓ ↓H␈ε"sion␈αusing␈αthis␈αidea␈αappears␈αin␈↓ ¬0␈ε"exercise␈α8;␈αit␈αrequires␈αabout␈α33␈αcy␈α␈cles␈αper␈αdigit.
␈β∧X␈↓ α␈ε"The␈α	procedure␈αλrepresen␈α␈ted␈α	by␈α	(5)␈αλcan␈α	be␈αλused␈α	e{ectiv␈α␈ely␈α	ev␈α␈en␈αλif␈α	the␈αλcomputer
␈β¬∧␈↓ ↓H␈ε"has␈αn␈α↓o␈α
built-in␈α
m␈α␈ultiplication␈αinstruction,␈α
since␈α
m␈α␈ultiplication␈αby␈α
10␈α
consists␈αof
␈β¬)␈↓ εε␈ε%3
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α
shi$s␈α
and␈α
one␈α∞addition␈α
(10␈α=␈↓ ¬t␈ε"2␈↓ ε ␈ε"+␈αλ2).␈α∀Ev␈α␈en␈α
the␈α∞task␈α
of␈α
m␈α␈ultiplication␈α
by
␈β¬U␈↓ ↓S␈ε%1
␈β¬Z␈↓ ↓{␈ε"can␈α
be␈α
done␈α
by␈α
judiciously␈α
com␈α␈bining␈α
a␈α
few␈α
shi$ing␈α
and␈αadding␈α
operations,
␈β¬k␈↓ ↓L␈ε%10
␈β¬n␈↓ ↓L␈∧¬n↓Lα∨
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε"as␈αexplained␈αin␈αexercise␈α9.
␈βε2␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈αfrom␈α
binary␈α
to␈α
decimal␈α
is␈α
to␈α
use␈α
Meth␈α↓od␈α(1b),␈α
but
␈βε]␈↓ ↓H␈ε"to␈αdo␈αthis␈αw␈α␈e␈α
need␈αto␈αsim␈α␈ulate␈αdoubling␈α
in␈αa␈ε/␈αdecimal␈ε"␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αsystem.␈α⊃This␈αidea
␈βπλ␈↓ ↓H␈ε"is␈αgenerally␈α
m␈α↓ost␈αsuitable␈αfor␈αincorporation␈αin␈α␈to␈αcomputer␈↓ λZ␈ε"hardw␈α␈are;␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αit
␈βπ3␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞possible␈α∞to␈α∞program␈α∞the␈α∞doubling␈α∞process␈α∞for␈α∂decimal␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α∞using␈α∞binary
␈βπ←␈↓ ↓H␈ε"addition,␈αbinary␈α
shi$ing,␈αand␈αbinary␈α
extraction␈α(\logical␈↓ λ⎇␈ε""␈αon␈αeach␈α
bit␈αin␈α
the
␈βπa␈↓ λE␈ε5A␈α␈ND
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"register),␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtable.
␈βλS␈↓ ¬|␈ε=T␈α⎇able␈α
1
␈β	
␈↓ β7␈ε$DOUB␈α↓LING␈α∂A␈↓ ¬∪␈ε$BI␈α↓N␈α␈A␈α↓R␈α⎇Y-CODED␈α⊂DE␈α↓CIMAL␈α⊂NUMB␈α↓ER
␈β	J␈↓ α⊂␈ε0Op␈α␈eration␈↓ ¬≡␈ε0Gen␈α␈eral␈αform␈↓ λX␈ε0Ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β	y␈↓ ↓g␈ε#1.␈↓ α⊂␈ε#Giv␈α␈en␈↓ ∧⊂␈ε)u␈↓ ∧2␈ε)u␈↓ ∧U␈ε)u␈↓ ∧w␈ε)u␈↓ ¬%␈ε)u␈↓ ¬H␈ε)u␈↓ ¬j␈ε)u␈↓ ε
␈ε)u␈↓ ε@␈ε)u␈↓ εh␈ε)u␈↓ π→␈ε)u␈↓ πI␈ε)u␈↓ λ6␈ε#001␈α␈1␈α01␈α␈10␈α10␈α␈01␈↓ 
≡␈ε#=␈α	3␈α	6␈α	9
␈β
¬␈↓ ∧#␈ε&1␈↓ ∧F␈ε&2␈↓ ∧h␈ε&3␈↓ ¬␈ε&4␈↓ ¬9␈ε&5␈↓ ¬[␈ε&6␈↓ ¬}␈ε&7␈↓ ε ␈ε&8␈↓ εT␈ε&9␈↓ ε|␈ε&1␈α␈0␈↓ π,␈ε&11␈↓ π\␈ε&12
␈β
!␈↓ α⊂␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er
␈β
H␈↓ ↓g␈ε#2.␈↓ α⊂␈ε#Add␈α
3␈αto␈↓ ∧⊃␈ε)v␈↓ ∧4␈ε)v␈↓ ∧V␈ε)v␈↓ ∧y␈ε)v␈↓ ¬'␈ε)v␈↓ ¬I␈ε)v␈↓ ¬l␈ε)v␈↓ ε∂␈ε)v␈↓ εB␈ε)v␈↓ εj␈ε)v␈↓ π~␈ε)v␈↓ πK␈ε)v␈↓ λ6␈ε#011␈α␈0␈α10␈α␈01␈α11␈α␈00
␈β
T␈↓ ∧!␈ε&1␈↓ ∧D␈ε&2␈↓ ∧g␈ε&3␈↓ ¬	␈ε&4␈↓ ¬7␈ε&5␈↓ ¬Z␈ε&6␈↓ ¬|␈ε&7␈↓ ε∨␈ε&8␈↓ εR␈ε&9␈↓ εz␈ε&10␈↓ π*␈ε&11␈↓ π[␈ε&12
␈β
p␈↓ α⊂␈ε#eac␈α␈h␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t
␈β↔␈↓ ↓g␈ε#3.␈↓ α⊂␈ε#Sh␈α␈i$␈αl␈α↓e$␈↓ βe␈ε)v␈↓ ∧⊃␈ε)v␈↓ ∧4␈ε)v␈↓ ∧V␈ε)v␈↓ ∧y␈ε)v␈↓ ¬'␈ε)v␈↓ ¬I␈ε)v␈↓ ¬l␈ε)v␈↓ ε∂␈ε)v␈↓ ε;␈ε)v␈↓ εj␈ε)v␈↓ π~␈ε)v␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ≠␈ε#0␈α
110␈α␈1␈α00␈α␈11␈α10␈α␈00
␈β#␈↓ βu␈ε&1␈↓ ∧!␈ε&2␈↓ ∧D␈ε&3␈↓ ∧g␈ε&4␈↓ ¬	␈ε&5␈↓ ¬7␈ε&6␈↓ ¬Z␈ε&7␈↓ ¬|␈ε&8␈↓ ε∨␈ε&9␈↓ εK␈ε&10␈↓ εz␈ε&11␈↓ π*␈ε&12
␈β?␈↓ α⊂␈ε#on␈α␈e
␈βg␈↓ ↓g␈ε#4.␈↓ α⊂␈ε#Extra␈α␈ct␈αlo␈α␈w␈↓ βe␈ε)v␈↓ ∧→␈ε#0␈↓ ∧;␈ε#0␈↓ ∧↑␈ε#0␈↓ ∧y␈ε)v␈↓ ¬.␈ε#0␈↓ ¬Q␈ε#0␈↓ ¬s␈ε#0␈↓ ε∂␈ε)v␈↓ εI␈ε#0␈↓ εx␈ε#0␈↓ π(␈ε#0␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ≠␈ε#0␈α
000␈α␈1␈α00␈α␈01␈α00␈α␈00
␈βr␈↓ βu␈ε&1␈↓ ¬	␈ε&5␈↓ ε∨␈ε&9
␈β∞␈↓ α⊂␈ε#bit
␈β6␈↓ ↓g␈ε#5.␈↓ α⊂␈ε#Sh␈α␈i$␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈↓ ∧→␈ε#0␈↓ ∧4␈ε)v␈↓ ∧↑␈ε#0␈↓ ¬␈ε#0␈↓ ¬.␈ε#0␈↓ ¬I␈ε)v␈↓ ¬s␈ε#0␈↓ ε⊗␈ε#0␈↓ εI␈ε#0␈↓ εq␈ε)v␈↓ π(␈ε#0␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ6␈ε#000␈α␈0␈α01␈α␈00␈α01␈α␈00
␈βA␈↓ ∧D␈ε&1␈↓ ¬Z␈ε&5␈↓ π↓␈ε&9
␈β]␈↓ α⊂␈ε#t␈α␈w␈α␈o
␈β
¬␈↓ ↓g␈ε#6.␈↓ α⊂␈ε#Sh␈α␈i$␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈↓ ∧→␈ε#0␈↓ ∧4␈ε)v␈↓ ∧V␈ε)v␈↓ ¬␈ε#0␈↓ ¬.␈ε#0␈↓ ¬I␈ε)v␈↓ ¬l␈ε)v␈↓ ε⊗␈ε#0␈↓ εI␈ε#0␈↓ εq␈ε)v␈↓ π!␈ε)v␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ6␈ε#000␈α␈0␈α01␈α␈10␈α01␈α␈10
␈β
⊃␈↓ ∧D␈ε&1␈↓ ∧g␈ε&1␈↓ ¬Z␈ε&5␈↓ ¬|␈ε&5␈↓ π↓␈ε&9␈↓ π1␈ε&9
␈β
-␈↓ α⊂␈ε#on␈α␈e␈αan␈α␈d␈αad␈α␈d
␈β
T␈↓ ↓g␈ε#7.␈↓ α⊂␈ε#Add␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈↓ βl␈ε7β␈↓ ∧→␈ε7β␈↓ ∧;␈ε7β␈↓ ∧↑␈ε7β␈↓ ¬␈ε7β␈↓ ¬.␈ε7β␈↓ ¬Q␈ε7β␈↓ ¬s␈ε7β␈↓ ε⊗␈ε7β␈↓ εI␈ε7β␈↓ εx␈ε7β␈↓ π(␈ε7β␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ≠␈ε#0␈α
110␈α␈1␈α10␈α␈01␈α11␈α␈10
␈β
|␈↓ α⊂␈ε#of␈αstep␈α
3
␈β∞#␈↓ ↓g␈ε#8.␈↓ α⊂␈ε#Su␈α␈btr␈α␈act␈α6␈↓ βe␈ε)y␈↓ ∧⊃␈ε)y␈↓ ∧4␈ε)y␈↓ ∧V␈ε)y␈↓ ∧y␈ε)y␈↓ ¬'␈ε)y␈↓ ¬I␈ε)y␈↓ ¬l␈ε)y␈↓ ε∂␈ε)y␈↓ ε;␈ε)y␈↓ εj␈ε)y␈↓ π~␈ε)y␈↓ πY␈ε#0␈↓ λ≠␈ε#0␈α
011␈α␈1␈α00␈α␈11␈α10␈α␈00␈↓ 
≡␈ε#=␈α	7␈α	3␈α	8
␈β∞/␈↓ βu␈ε&1␈↓ ∧!␈ε&2␈↓ ∧D␈ε&3␈↓ ∧g␈ε&4␈↓ ¬	␈ε&5␈↓ ¬7␈ε&6␈↓ ¬Z␈ε&7␈↓ ¬|␈ε&8␈↓ ε∨␈ε&9␈↓ εK␈ε&10␈↓ εz␈ε&11␈↓ π*␈ε&12
␈β∞K␈↓ α⊂␈ε#from␈αe␈α␈ach
␈β∞u␈↓ λ⊂␈ε↓␈
␈β∂∪␈↓ α␈ε"This␈α
meth␈α↓od␈αchanges␈α
each␈α
individual␈α
digit␈ε(␈αd␈ε"␈α
in␈α␈to␈↓ λ≡␈ε"(␈ε(d␈ε"␈α∧+␈α¬3)␈ε6␈α∧α␈ε"␈α¬2␈α¬+␈α∧0)␈ε6␈α¬␈␈ε"␈α∧6␈α
=␈α
2␈ε(d
␈β∂ ␈↓ ¬≤␈ε↓␈␈↓ π6␈ε↓↓
␈β∂9␈↓ 
:␈ε%4
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε"when␈α⊂0␈ε6␈α⊂∀␈ε(␈α⊃d␈ε6␈α⊃∀␈ε"␈α⊂4,␈α⊃and␈α⊂in␈α␈to␈↓ ¬*␈ε"(␈ε(d␈ε"␈α+␈α3)␈ε6␈α
α␈ε"␈α2␈α+␈α
6␈↓ πO␈ε6␈␈ε"␈α6␈α⊂=␈α⊃(2␈ε(d␈ε6␈α␈␈ε"␈α
10)␈α+␈↓ 
(␈ε"2␈↓ 
Z␈ε"when
␈β∂j␈↓ ↓H␈ε"5␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
d␈ε6␈α
∀␈↓ α\␈ε(q␈↓ αo␈ε";␈αand␈αthat␈αis␈αjust␈αwhat␈αis␈αneeded␈αto␈αdouble␈αdecimal␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αencoded
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"with␈α4␈αbits␈αper␈αdigit.
␈β⊂B␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α
related␈αidea␈α
is␈α
to␈αk␈α␈eep␈α
a␈α
table␈α
of␈αthe␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α
of␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
in␈α
decimal␈α
form,
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"and␈α
to␈α
add␈α
the␈α
appropriate␈α
po␈α␈w␈α␈ers␈α
together␈α
by␈α
sim␈α␈ulating␈α
decimal␈αaddition.␈α∪A
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"surv␈α␈ey␈αof␈αbit-manipulation␈αtechniques␈αappears␈αin␈αSection␈α7.1.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"306␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"Finally,␈αev␈α␈en␈αMeth␈α↓od␈α(2b)␈αcan␈αbe␈αused␈αfor␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αbinary␈αin␈α␈tegers
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"to␈α	decimal␈α	in␈α␈tegers.␈α∞W␈α⎇e␈α	can␈α	|nd␈↓ ¬A␈ε(q␈↓ ¬]␈ε"as␈α	in␈α	(2),␈α
and␈α	then␈α	w␈α␈e␈α	can␈α	sim␈α␈ulate␈α	the␈αλdecimal
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"division␈α∞of␈↓ α|␈ε(q␈↓ β→␈ε"+␈α
1␈α∂by␈↓ ∧≥␈ε(w␈↓ ∧8␈ε",␈α⊂using␈α∞a␈α∂\halving"␈α∂process␈α∂(exercise␈α∞10)␈α∂that␈α∂is␈α∞similar
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂the␈α∂doubling␈α∂process␈α∂just␈α⊂described,␈α∂retaining␈α⊂only␈α∂the␈α∂|rst␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∂digits␈α∂to␈α∂the
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈t␈α
of␈α∞the␈α
radix␈α∞poin␈α␈t␈α
in␈α
the␈α∞answ␈α␈er.␈α∀In␈α∞this␈α
situation,␈α∞Meth␈α↓od␈α∞(2b)␈α
does␈α
n␈α↓ot
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"seem␈αto␈α
o{er␈αadv␈α}an␈α␈tages␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αother␈αthree␈αmeth␈α↓ods␈αalready␈α
discussed,␈αbut␈α
w␈α␈e
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αcon|rmed␈α
the␈αremark␈α
made␈αearlier␈α
that␈α
at␈αleast␈α
four␈αdistinct␈α
meth␈α↓ods␈αare
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α}ailable␈αfor␈αcon␈α␈v␈α␈erting␈αin␈α␈tegers␈αfrom␈αone␈αradix␈αto␈αan␈α↓other.
␈β¬␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α
let␈α
us␈αconsider␈α
decimal-to-binary␈α
con␈α␈v␈α␈ersion␈α
(so␈α
that␈ε(␈αb␈ε"␈α=␈α10,␈↓ 
.␈ε(B␈↓ 
U␈ε"=␈α2).
␈β¬7␈↓ ↓H␈ε"Meth␈α↓od␈α(1a)␈α
sim␈α␈ulates␈α
a␈αdecimal␈α
division␈α
by␈α2;␈α
this␈α
is␈αfeasible␈α
(see␈α
exercise␈α10),
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε"but␈αit␈αis␈αprimarily␈αsuitable␈αfor␈αincorporation␈αin␈αhardw␈α␈are␈αinstead␈αof␈αprograms.
␈βε∂␈↓ α␈ε"Meth␈α↓od␈α(1b)␈α
is␈αthe␈α
m␈α↓ost␈αpractical␈αmeth␈α↓od␈α
for␈αdecimal-to-binary␈αcon␈α␈v␈α␈ersion
␈βε:␈↓ ↓H␈ε"in␈αthe␈αgreat␈αmajorit␈α␈y␈αof␈αcases.␈α∂Here␈αit␈αis␈αin␈↓ π2␈ε"code,␈αassuming␈αthat␈αthere␈αare␈αat
␈βε<␈↓ εn␈ε5MIX
␈βεe␈↓ ↓H␈ε"least␈αt␈α␈w␈α␈o␈αdigits␈αin␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α(␈↓ ¬8␈ε(u␈↓ ¬o␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ε∨␈ε(u␈↓ εD␈ε(u␈↓ εj␈ε")␈↓ π"␈ε"being␈αcon␈α␈v␈α␈erted:
␈βεr␈↓ ¬L␈ε+m␈↓ ε3␈ε%1␈↓ εY␈ε%0␈↓ εv␈ε%10
␈βπ:␈↓ ∧β␈ε5E␈α␈NT1␈↓ ∧a␈ε5M-1␈↓ ε≡␈ε#Se␈α␈t␈↓ εW␈ε)j␈↓ εp␈ε7␈ ␈ε)␈α
m␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ1␈α␈.
␈βπa␈↓ ∧β␈ε5L␈α␈DA␈↓ ∧a␈ε5INPUT+␈α␈M␈↓ ε≡␈ε#Se␈α␈t␈↓ εW␈ε)U␈↓ ε{␈ε7␈ ␈↓ π&␈ε)u␈↓ πS␈ε#.
␈βπm␈↓ π9␈ε,m
␈βλ	␈↓ βJ␈ε51H␈↓ ∧β␈ε5M␈α␈UL␈↓ ∧a␈ε5=10=
␈βλ/␈↓ α␈ε"(6)
␈βλ0␈↓ ∧β␈ε5S␈α␈LAX␈↓ ∧a␈ε55
␈βλX␈↓ ∧β␈ε5A␈α␈DD␈↓ ∧a␈ε5INPUT,␈α␈1␈↓ ε≡␈ε)U␈↓ εB␈ε7␈ ␈ε#␈α
1␈α␈0␈↓ π∞␈ε)U␈↓ π0␈ε#+␈↓ πY␈ε)u␈↓ πz␈ε#.
␈βλd␈↓ πl␈ε,j
␈β	␈↓ ∧β␈ε5D␈α␈EC1␈↓ ∧a␈ε51
␈β	'␈↓ ∧β␈ε5J␈α␈1NN␈↓ ∧a␈ε51B␈↓ ε≡␈ε#Rep␈α␈eat␈αfor␈ε)␈αm␈ε#␈αλ>␈↓ λ⊗␈ε)j␈↓ λ/␈ε7∃␈ε#␈α	0.
␈β	.␈↓ 	_␈∧	.	_≠∂
␈β	w␈↓ ↓H␈ε"Note␈α∞again␈α∞that␈α∞adding␈α∞and␈α∞shi$ing␈α∞ma␈α␈y␈α∞be␈α
substituted␈α∞for␈α∞the␈α∞m␈α␈ultiplication
␈β
#␈↓ ↓H␈ε"by␈α10.
␈β
O␈↓ α␈ε"A␈α⊃trickier␈α⊃but␈α⊃perhaps␈α⊃faster␈α⊃meth␈α↓od,␈α∩which␈α⊃uses␈α⊃about␈↓ 	1␈ε"lg␈↓ 	S␈ε(m␈ε"␈α⊂m␈α␈ultiplica-
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"tions,␈α∞extractions,␈α∞and␈α∞additions␈α
instead␈α∞of␈ε(␈α∞m␈ε"␈α
m␈α␈ultiplications␈α∞and␈α
additions,␈α∞is
␈β&␈↓ ↓H␈ε"described␈αin␈αexercise␈α19.
␈βR␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∪the␈α∩con␈α␈v␈α␈ersion␈α∪of␈α∩decimal␈α∪fractions␈α∩(0.␈↓ πK␈ε(u␈↓ λ∂␈ε(u␈↓ λX␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	λ␈ε(u␈↓ 	V␈ε")␈↓ 
∃␈ε"to␈α∩binary
␈β↑␈↓ π`␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ#␈ε9␈␈ε%2␈↓ 	≥␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈↓ 	b␈ε%1␈α↓0
␈β⎇␈↓ ↓H␈ε"form,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
use␈α
Meth␈α↓od␈α
(2b);␈α∞or,␈α
m␈α↓ore␈α
comm␈α↓only,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈α
the␈α
in␈α␈teger
␈β"␈↓ λs␈ε+m
␈β(␈↓ ↓H␈ε"(␈↓ ↓T␈ε(u␈↓ α↔␈ε(u␈↓ α`␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ β⊂␈ε(u␈↓ β↑␈ε")␈↓ ∧⊗␈ε"by␈α
Meth␈α↓od␈α(1b)␈αand␈αthen␈αdivide␈αby␈α1␈↓ λa␈ε"0␈↓ 	∂␈ε".
␈β5␈↓ ↓h␈ε9␈␈ε%1␈↓ α,␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈↓ β%␈ε9␈␈ε+␈α␈m␈↓ βj␈ε%1␈α↓0
␈βs␈↓ ↓H␈ε2C.␈αHand␈α
calculation.␈ε"␈α~It␈αis␈α
occasionally␈αnecessary␈α
for␈αcomputer␈α
programmers␈αto
␈β
≡␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ert␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	by␈α	hand,␈α	and␈α	since␈α	this␈α	is␈α	a␈α	subject␈α	n␈α↓ot␈α	y␈α␈et␈α	taugh␈α␈t␈α	in␈α	elemen␈α␈tary
␈β
I␈↓ ↓H␈ε"sch␈α↓o␈α↓ols,␈αit␈αma␈α␈y␈α
be␈αw␈α␈orth␈α␈while␈αto␈α
examine␈αit␈αbrie⎇y␈α
here.␈α⊂There␈α
are␈αv␈α␈ery␈αsimple
␈β
t␈↓ ↓H␈ε"pencil-and-paper␈α∞meth␈α↓ods␈α∞for␈α∞con␈α␈v␈α␈erting␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∞decimal␈α∞and␈↓ 	5␈ε"octal␈α∞n␈α↓otations,
␈β∞∨␈↓ ↓H␈ε"and␈αthese␈αmeth␈α↓ods␈αare␈αeasily␈αlearned,␈αso␈αthey␈αough␈α␈t␈αto␈αbe␈αm␈α↓ore␈αwidely␈αkn␈α↓o␈α␈wn.
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε/Con␈α␈v␈α␈erting␈α
octal␈α
in␈α␈tegers␈α∞to␈α
decimal.␈ε"␈α≤The␈α
simplest␈α∞con␈α␈v␈α␈ersion␈α
is␈α∞from␈α
octal␈α
to
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"decimal;␈α∞this␈α
technique␈α∞w␈α␈as␈α
apparen␈α␈tly␈α∞|rst␈α
published␈α∞by␈α
W␈α⎇alter␈↓ 	Y␈ε"Soden,␈ε/␈α
Math.
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε/Comp.␈ε2␈α
7␈ε"␈α	(1953),␈α273↑274.␈α∂T␈α⎇o␈α
do␈α
the␈α
con␈α␈v␈α␈ersion,␈α
write␈α
do␈α␈wn␈α
the␈α
giv␈α␈en␈α
octal␈α	n␈α␈um-
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"ber;␈α
then␈α
at␈αthe␈↓ βO␈ε(k␈↓ βc␈ε"th␈α
step,␈α
double␈α
the␈↓ ε≤␈ε(k␈↓ ε=␈ε"leading␈α
digits␈α
using␈α
decimal␈αarithmetic,
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"and␈α
subtract␈α∞this␈α
from␈α∞the␈↓ ∧}␈ε(k␈↓ ¬≠␈ε"+␈α	1␈α
leading␈α∞digits␈α∞using␈α
decimal␈α∞arithmetic.␈α∀The
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"process␈αterminates␈αin␈ε(␈α
n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈αsteps␈α
if␈αthe␈αgiv␈α␈en␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αhas␈ε(␈αn␈ε"␈αdigits.␈α⊃It␈α
is␈αa␈αgo␈α↓od
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"idea␈αto␈αinsert␈αa␈αradix␈αpoin␈α␈t␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αwhich␈αdigits␈αare␈αbeing␈αdoubled,␈αas␈αsh␈α↓o␈α␈wn␈αin
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"the␈αfollo␈α␈wing␈αexample,␈αin␈αorder␈αto␈αprev␈α␈en␈α␈t␈αem␈α␈barrassing␈αmistak␈α␈es.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.4␈↓ 
v␈ε"307
␈β↓\␈↓ πr␈ε∞RA␈α↓DIX␈α
CONV␈α↓ERS␈α␈ION
␈βα"␈↓ ↓H␈ε2Example␈α1.␈ε"␈α→Con␈α␈v␈α␈ert␈α(5325121␈↓ ¬&␈ε")␈↓ ¬O␈ε"to␈αdecimal.
␈βα/␈↓ ¬2␈ε%8
␈βαr␈↓ ∧0␈ε"5␈↓ ∧F␈ε".␈↓ ∧T␈ε"3␈α∩2␈α∩5␈α∩1␈α∩2␈α∩1
␈ββ≥␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧0␈ε"1␈α∩0
␈ββH␈↓ ∧0␈∧βH∧0α6
␈ββQ␈↓ ∧0␈ε"4␈α∩3␈↓ ∧j␈ε".␈↓ ∧x␈ε"2␈α∩5␈α∩1␈α∩2␈α∩1
␈ββ|␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε"8␈α∩6
␈β∧'␈↓ ∧0␈∧∧'∧0αZ
␈β∧0␈↓ ∧0␈ε"3␈α∩4␈α∩6␈↓ ¬∞␈ε".␈↓ ¬≤␈ε"5␈α∩1␈α∩2␈α∩1
␈β∧[␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε"6␈α∩9␈α∩2
␈β¬ε␈↓ ∧0␈∧¬ε∧0α}
␈β¬∂␈↓ ∧0␈ε"2␈α∩7␈α∩7␈α∩3␈↓ ¬2␈ε".␈↓ ¬@␈ε"1␈α∩2␈α∩1
␈β¬:␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε"5␈α∩5␈α∩4␈α∩6
␈β¬e␈↓ ∧0␈∧¬e∧0α↓"
␈β¬n␈↓ ∧0␈ε"2␈α∩2␈α∩1␈α∩8␈α∩5␈↓ ¬V␈ε".␈↓ ¬d␈ε"2␈α∩1
␈βε→␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε"4␈α∩4␈α∩3␈α∩7␈α∩0
␈βεD␈↓ ∧0␈∧εD∧0α↓F
␈βεM␈↓ ∧0␈ε"1␈α∩7␈α∩7␈α∩4␈α∩8␈α∩2␈↓ ¬z␈ε".␈↓ ελ␈ε"1
␈βεx␈↓ ∧␈ε6␈␈↓ ∧T␈ε"3␈α∩5␈α∩4␈α∩9␈α∩6␈α∩4
␈βπ#␈↓ ∧0␈∧π#∧0α↓j
␈βπ,␈↓ ∧0␈ε"1␈α∩4␈α∩1␈α∩9␈α∩8␈α∩5␈α∩7␈↓ π_␈ε/Answ␈α␈er:␈ε"␈α(14198757␈↓ 	=␈ε")␈↓ 	i␈ε/.
␈βπ9␈↓ 	I␈ε%10
␈βπy␈↓ α␈ε"A␈αreasonably␈α
go␈α↓od␈αcheck␈α
on␈αthe␈α
computations␈αma␈α␈y␈α
be␈αhad␈α
by␈α\␈↓ 	}␈ε"casting␈αout
␈βλ$␈↓ ↓H␈ε"nines":␈α
The␈α
sum␈α	of␈α	the␈α
digits␈α	of␈α	the␈α
decimal␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α	m␈α␈ust␈α	be␈α
congruen␈α␈t␈α	m␈α↓odulo␈α	9
␈βλO␈↓ ↓H␈ε"to␈αthe␈αalternating␈αsum␈αand␈αdi{erence␈αof␈αthe␈αdigits␈αof␈αthe␈αoctal␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αwith␈αthe
␈βλz␈↓ ↓H␈ε"righ␈α␈tm␈α↓ost␈α∞digit␈α∞of␈α∞the␈α
latter␈α∞giv␈α␈en␈α∞a␈α∞plus␈α∞sign.␈α⊗In␈α∞the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞example,␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e
␈β	%␈↓ ↓H␈ε"1␈αλ+␈αλ4␈αλ+␈α	1␈αλ+␈αλ9␈α	+␈αλ8␈αλ+␈αλ5␈α	+␈αλ7␈α=␈α
35,␈α
and␈α1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	2␈αλ+␈αλ1␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ5␈αλ+␈αλ2␈ε6␈α	␈␈ε"␈αλ3␈αλ+␈αλ5␈α=␈ε6␈α␈␈ε"1;␈αthe
␈β	Q␈↓ ↓H␈ε"di{erence␈αis␈α36␈α(a␈αm␈α␈ultiple␈αof␈α9).␈α⊂If␈αthis␈αtest␈αfails,␈αit␈αcan␈αbe␈αapplied␈αto␈αthe␈↓ 
T␈ε(k␈↓ 
o␈ε"+␈απ1
␈β	|␈↓ ↓H␈ε"leading␈α∞digits␈α∞a$er␈α∞the␈↓ ∧B␈ε(k␈↓ ∧V␈ε"th␈α∞step,␈α∂and␈α∞the␈α∞error␈α∞can␈α∞be␈α∞located␈α∞using␈α∞a␈α∞\␈↓ 
G␈ε"binary
␈β
'␈↓ ↓H␈ε"search"␈α	procedure;␈α
i.e.,␈α
w␈α␈e␈α
start␈α	by␈α
checking␈α	the␈α
middle␈α	result,␈α
then␈α
use␈α	the␈α	same
␈β
R␈↓ ↓H␈ε"procedure␈α∞on␈α∞the␈α∞|rst␈α∞or␈α∞second␈α∞half␈α∞of␈α∞the␈α∞calculation,␈α∞depending␈α∞on␈α∞whether
␈β
⎇␈↓ ↓H␈ε"the␈αmiddle␈αresult␈αis␈αincorrect␈αor␈αcorrect.
␈β)␈↓ α␈ε"The␈α∂\casting-out-nines"␈α∞process␈α∂is␈α∂only␈α∞about␈α∂89␈α∂percen␈α␈t␈α∞reliable,␈α∂because
␈βT␈↓ ↓H␈ε"there␈αis␈αone␈αchance␈αin␈αnine␈αthat␈αt␈α␈w␈α␈o␈ε/␈αrandom␈ε"␈αin␈α␈tegers␈αwill␈αdi{er␈αby␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof
␈β␈␈↓ ↓H␈ε"nine.␈α∀An␈α∞ev␈α␈en␈α
better␈α∞check␈α
is␈α∞to␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈α∞the␈α
answ␈α␈er␈α∞back␈α
to␈α∞octal␈α
by␈α∞using␈α
an
␈β*␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈erse␈αmeth␈α↓od,␈αwhich␈αw␈α␈e␈αshall␈αn␈α↓o␈α␈w␈αconsider.
␈βf␈↓ ↓H␈ε/Con␈α␈v␈α␈erting␈α
decimal␈α∞in␈α␈tegers␈α∞to␈α∞octal.␈ε"␈α≥A␈α
similar␈α∞procedure␈α∞can␈α∞be␈α∞used␈α∞for␈α
the
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"opposite␈α	con␈α␈v␈α␈ersion:␈αW␈α⎇rite␈α
do␈α␈wn␈α
the␈α
giv␈α␈en␈α
decimal␈α	n␈α␈um␈α␈ber;␈αthen␈α
at␈α
the␈↓ 
"␈ε(k␈↓ 
7␈ε"th␈α	step,
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"double␈α
the␈↓ α⎇␈ε(k␈↓ β∨␈ε"leading␈α∞digits␈α∞using␈ε/␈α∞octal␈ε"␈α∞arithmetic,␈α∞and␈ε/␈α∞add␈ε"␈α
these␈α∞to␈α∞the␈↓ 
P␈ε(k␈↓ 
m␈ε"+␈α	1
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"leading␈α∞digits␈α
using␈ε/␈α∞octal␈ε"␈α∞arithmetic.␈α⊗The␈α∞process␈α∞terminates␈α∞in␈ε(␈α
n␈ε6␈α	␈␈ε"␈α
1␈α∞steps␈α
if
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"the␈αgiv␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αhas␈ε(␈αn␈ε"␈αdigits.␈α~(See␈αExample␈α2␈αon␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αpage.)
␈β∞>␈↓ α␈ε"The␈α⊂t␈α␈w␈α␈o␈α⊂procedures␈α∂just␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂are␈α⊂essen␈α␈tially␈α∂Meth␈α↓od␈α⊂(1b)␈α⊂of␈α⊂the␈α∂general
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"radix-con␈α␈v␈α␈ersion␈α∂procedures.␈α~Doubling␈α∂and␈α∂subtracting␈α⊂in␈α∂decimal␈α∂n␈α↓otation␈α∂is
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"lik␈α␈e␈α∞m␈α␈ultiplying␈α∞by␈α∂10␈ε6␈α	␈␈ε"␈α
2␈α∞=␈α∞8;␈α⊂doubling␈α∞and␈α∞adding␈α∂in␈α∞octal␈α∂n␈α↓otation␈α∞is␈α∞lik␈α␈e
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplying␈αby␈α8␈αλ+␈απ2␈α
=␈α
10.␈α⊂There␈αis␈αa␈αsimilar␈αmeth␈α↓od␈αfor␈αhexadecimal/decimal
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersions,␈α
but␈α∞it␈α
is␈α
a␈α∞little␈α
m␈α↓ore␈α
di}cult␈α∞since␈α
it␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α∞m␈α␈ultiplication␈α
by␈α
6
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"instead␈αof␈αby␈α2.
␈β⊂B␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈αk␈α␈eep␈α
these␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
meth␈α↓ods␈αstraigh␈α␈t␈αin␈α
our␈αminds,␈α
it␈αis␈αn␈α↓ot␈α
hard␈αto␈αremem-
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"ber␈αthat␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αsubtract␈α
to␈αgo␈αfrom␈αoctal␈αto␈α
decimal,␈αsince␈αthe␈αdecimal␈αrepre-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"sen␈α␈tation␈α
of␈α∞a␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
is␈α∞smaller;␈α∂similarly␈α
w␈α␈e␈α∞m␈α␈ust␈α∞add␈α∞to␈α
go␈α∞from␈α∞decimal␈α
to
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"308␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≠␈↓ ↓H␈ε2Example␈α2.␈ε"␈α→Con␈α␈v␈α␈ert␈α(1419857␈↓ ¬&␈ε")␈↓ ¬↑␈ε"to␈αoctal.
␈βα'␈↓ ¬2␈ε%10
␈βα`␈↓ ∧0␈ε"1␈↓ ∧F␈ε".␈↓ ∧T␈ε"4␈α∩1␈α∩9␈α∩8␈α∩5␈α∩7
␈ββ␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧T␈ε"2
␈ββ6␈↓ ∧0␈∧β6∧0α6
␈ββ?␈↓ ∧0␈ε"1␈α∩6␈↓ ∧j␈ε".␈↓ ∧x␈ε"1␈α∩9␈α∩8␈α∩5␈α∩7
␈ββY␈↓ π_␈ε"(Note␈α⊃that␈α∩the␈α∩n␈α↓on␈α↓octal␈α∩digits␈α⊃8
␈ββj␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧T␈ε"3␈α∩4
␈β∧∧␈↓ π_␈ε"and␈α⊃9␈α∩en␈α␈ter␈α∩in␈α␈to␈α∩this␈α∩octal␈α⊃com-
␈β∧∃␈↓ ∧0␈∧∧∃∧0αZ
␈β∧≡␈↓ ∧0␈ε"2␈α∩1␈α∩5␈↓ ¬∞␈ε".␈↓ ¬≤␈ε"9␈α∩8␈α∩5␈α∩7
␈β∧0␈↓ π_␈ε"putation.)␈α1The␈α↔answ␈α␈er␈α⊗can␈α↔be
␈β∧I␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧T␈ε"4␈α∩3␈α∩2
␈β∧[␈↓ π_␈ε"check␈α␈ed␈α∞as␈α∞discussed␈α∞abo␈α␈v␈α␈e.␈α⊗This
␈β∧t␈↓ ∧0␈∧∧t∧0α}
␈β∧⎇␈↓ ∧0␈ε"2␈α∩6␈α∩1␈α∩3␈↓ ¬2␈ε".␈↓ ¬@␈ε"8␈α∩5␈α∩7
␈β¬ε␈↓ π_␈ε"meth␈α↓od␈αw␈α␈as␈α
published␈αby␈αCharles
␈β¬)␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧T␈ε"5␈α∩4␈α∩2␈α∩6
␈β¬1␈↓ π_␈ε"P.␈↓ πR␈ε"Rozier,␈ε/␈α≠IEEE␈α_T␈α⎇rans.␈ε2␈α_CE↑11
␈β¬S␈↓ ∧0␈∧¬S∧0α↓"
␈β¬\␈↓ ∧0␈ε"3␈α∩3␈α∩5␈α∩6␈α∩6␈↓ ¬V␈ε".␈↓ ¬d␈ε"5␈α∩7␈↓ π_␈ε"(1962),␈α708↑709.
␈βελ␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧T␈ε"6␈α∩7␈α∩3␈α∩5␈α∩4
␈βε2␈↓ ∧0␈∧ε2∧0α↓F
␈βε;␈↓ ∧0␈ε"4␈α∩2␈α∩5␈α∩2␈α∩4␈α∩1␈↓ ¬z␈ε".␈↓ ελ␈ε"7
␈βεg␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧0␈ε"1␈α∩0␈α∩5␈α∩2␈α∩5␈α∩0␈α∩2
␈βπ⊃␈↓ ∧0␈∧π⊃∧0α↓j
␈βπ~␈↓ ∧0␈ε"5␈α∩3␈α∩2␈α∩5␈α∩1␈α∩2␈α∩1␈↓ π_␈ε/Answ␈α␈er:␈ε"␈α(5325121␈↓ 	+␈ε")␈↓ 	G␈ε/.
␈βπ'␈↓ 	7␈ε%8
␈βπ|␈↓ ↓H␈ε"octal.␈α∀The␈α∞computations␈α∞are␈α
performed␈α∞using␈α
the␈α∞radix␈α∞of␈α
the␈ε/␈α∞answ␈α␈er␈ε",␈α∞n␈α↓ot␈α
the
␈βλ'␈↓ ↓H␈ε"radix␈αof␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈αotherwise␈αw␈α␈e␈αcouldn't␈αget␈αthe␈αdesired␈αansw␈α␈er.
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε/Con␈α␈v␈α␈erting␈αfractions.␈ε"␈α&No␈αequally␈αfast␈αmeth␈α↓od␈αof␈αcon␈α␈v␈α␈erting␈αfractions␈αman␈α␈ually
␈β	
␈↓ ↓H␈ε"is␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn;␈α∪the␈α⊃best␈α⊃w␈α␈a␈α␈y␈α⊃seems␈α⊂to␈α⊃be␈α⊃Meth␈α↓od␈α⊂(2a),␈α∩with␈α⊃doubling␈α⊃and␈α⊂adding
␈β	5␈↓ ↓H␈ε"or␈α∂subtracting␈α∂to␈α∂simplify␈α∂the␈α⊂m␈α␈ultiplications␈α∂by␈α∂10␈α∂or␈α∂by␈α⊂8.␈α→In␈α∂this␈α∂case,␈α⊂w␈α␈e
␈β	`␈↓ ↓H␈ε"rev␈α␈erse␈α∂the␈α∂addition-subtraction␈α∂criterion,␈α⊂adding␈α∂when␈α∂w␈α␈e␈α∂con␈α␈v␈α␈ert␈α∂to␈α∂decimal
␈β
␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂subtracting␈α∂when␈α⊂w␈α␈e␈α∂con␈α␈v␈α␈ert␈α∂to␈α∂octal;␈α⊃w␈α␈e␈α⊂also␈α∂use␈α∂the␈α⊂radix␈α∂of␈α∂the␈α∂giv␈α␈en
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"input␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈ε/␈αn␈α↓ot␈ε"␈αthe␈αradix␈αof␈αthe␈αansw␈α␈er,␈αin␈αthis␈αcomputation␈α(see␈αExamples␈α3
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"and␈α4).␈α⊂The␈αprocess␈αis␈αabout␈αt␈α␈wice␈αas␈αhard␈αas␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αmeth␈α↓od␈αfor␈αin␈α␈tegers.
␈βP␈↓ ↓H␈ε2Example␈α3.␈ε"␈α→Con␈α␈v␈α␈ert␈α(.14159␈↓ ¬␈ε")␈↓ π9␈ε2Example␈α4.␈ε"␈α~Con␈α␈v␈α␈ert␈α(.110374␈↓ ⊂␈ε")
␈β\␈↓ ¬_␈ε%10␈↓ ≤␈ε%8
␈β{␈↓ ↓H␈ε"to␈αoctal.␈↓ π9␈ε"to␈αdecimal.
␈β-␈↓ ↓L␈ε".␈↓ ↓Z␈ε"1␈α∩4␈α∩1␈α∩5␈α∩9␈↓ π=␈ε".␈↓ πK␈ε"1␈α∩1␈α∩0␈α∩3␈α∩7␈α∩4
␈βX␈↓ ↓}␈ε"2␈α∩8␈α∩3␈α∩1␈α∩8␈ε6␈␈↓ πo␈ε"2␈α∩2␈α∩0␈α∩7␈α∩7␈α∩0+
␈β
β␈↓ ↓Z␈∧
β↓Zα↓F␈↓ πK␈∧
βπKα↓j
␈β
␈↓ ↓Z␈ε"1␈↓ ↓p␈ε".␈↓ ↓}␈ε"1␈α∩3␈α∩2␈α∩7␈α∩2␈↓ πK␈ε"1␈↓ πa␈ε".␈↓ πo␈ε"3␈α∩2␈α∩4␈α∩7␈α∩3␈α∩0
␈β
7␈↓ α"␈ε"2␈α∩6␈α∩5␈α∩4␈α∩4␈ε6␈␈↓ λ∪␈ε"6␈α∩5␈α∩1␈α∩6␈α∩6␈α∩0+
␈β
b␈↓ ↓}␈∧
b↓}α↓F␈↓ πo␈∧
bπoα↓j
␈β
k␈↓ ↓}␈ε"1␈↓ α∀␈ε".␈↓ α"␈ε"0␈α∩6␈α∩1␈α∩7␈α∩6␈↓ πo␈ε"4␈↓ λ¬␈ε".␈↓ λ∪␈ε"1␈α∩2␈α∩1␈α∩1␈α∩6␈α∩0
␈β∞⊗␈↓ αF␈ε"1␈α∩2␈α∩3␈α∩5␈α∩2␈ε6␈␈↓ λ7␈ε"2␈α∩4␈α∩2␈α∩3␈α∩4␈α∩0+
␈β∞A␈↓ α"␈∧∞Aα"α↓F␈↓ λ∪␈∧∞Aλ∪α↓j
␈β∞J␈↓ α"␈ε"0␈↓ α8␈ε".␈↓ αF␈ε"4␈α∩9␈α∩4␈α∩0␈α∩8␈↓ λ∪␈ε"1␈↓ λ)␈ε".␈↓ λ7␈ε"4␈α∩5␈α∩4␈α∩1␈α∩4␈α∩0
␈β∞v␈↓ αj␈ε"9␈α∩8␈α∩8␈α∩1␈α∩6␈ε6␈␈↓ λ7␈ε"1␈α∩1␈α∩3␈α∩0␈α∩3␈α∩0␈α∩0+
␈β∂ ␈↓ αF␈∧∂ αFα↓F␈↓ λ7␈∧∂ λ7α↓j
␈β∂)␈↓ αF␈ε"3␈↓ α\␈ε".␈↓ αj␈ε"9␈α∩5␈α∩2␈α∩4␈α∩6␈↓ λ7␈ε"5␈↓ λM␈ε".␈↓ λ[␈ε"6␈α∩7␈α∩1␈α∩7␈α∩0␈α∩0
␈β∂U␈↓ αj␈ε"1␈α∩9␈α∩0␈α∩5␈α∩2␈α∩8␈ε6␈␈↓ λ[␈ε"1␈α∩5␈α∩6␈α∩3␈α∩6␈α∩0␈α∩0+
␈β∂␈␈↓ αj␈∧∂␈αjα↓F␈↓ λ[␈∧∂␈λ[α↓j
␈β⊂λ␈↓ αj␈ε"7␈↓ β␈ε".␈↓ β∞␈ε"6␈α∩2␈α∩1␈α∩1␈α∩2␈↓ λ[␈ε"8␈↓ λq␈ε".␈↓ λ␈␈ε"5␈α∩0␈α∩2␈α∩6␈α∩0␈α∩0
␈β⊂4␈↓ β∞␈ε"1␈α∩2␈α∩4␈α∩2␈α∩2␈α∩4␈ε6␈␈↓ λ␈␈ε"1␈α∩2␈α∩0␈α∩5␈α∩4␈α∩0␈α∩0+
␈β⊂↑␈↓ β∞␈∧⊂↑β∞α↓F␈↓ λ␈␈∧⊂↑λ␈α↓j
␈β⊂g␈↓ β∞␈ε"4␈↓ β$␈ε".␈↓ β2␈ε"9␈α∩6␈α∩8␈α∩9␈α∩6␈↓ λ␈␈ε"6␈↓ 	∃␈ε".␈↓ 	#␈ε"2␈α∩3␈α∩3␈α∩4␈α∩0␈α∩0
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε/Answ␈α␈er:␈ε"␈α(.110374␈↓ βY␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧	␈ε")␈↓ ∧%␈ε".␈↓ π9␈ε/Answ␈α␈er:␈ε"␈α(.141586␈↓ 	J␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	z␈ε")␈↓ 
&␈ε/.
␈β⊃#␈↓ ∧∃␈ε%8␈↓ 
ε␈ε%1␈α↓0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.4␈↓ 
v␈ε"309
␈β↓\␈↓ πr␈ε∞RA␈α↓DIX␈α
CONV␈α↓ERS␈α␈ION
␈βα$␈↓ ↓H␈ε2D.␈↓ ↓t␈ε2Floating␈α	poin␈α␈t␈α	con␈α␈v␈α␈ersion.␈ε"␈α∞When␈αλ⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α	v␈α}alues␈α	are␈α	to␈αλbe␈α	con␈α␈v␈α␈erted,␈α
it␈αλis
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"necessary␈αto␈αdeal␈αwith␈αboth␈αthe␈αexponen␈α␈t␈αand␈αthe␈αfraction␈αparts␈αsim␈α␈ultaneously,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"since␈αcon␈α␈v␈α␈ersion␈αof␈αthe␈αexponen␈α␈t␈αwill␈αa{ect␈αthe␈αfraction␈αpart.␈α∂Giv␈α␈en␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber
␈ββ ␈↓ α¬␈ε+e␈↓ πc␈ε+e␈↓ 
∞␈ε+E
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε(f␈↓ ↓c␈ε6↓␈↓ ↓s␈ε"2␈↓ α∨␈ε"to␈αbe␈αcon␈α␈v␈α␈erted␈αto␈αdecimal,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αexpress␈↓ πQ␈ε"2␈↓ π⎇␈ε"in␈αthe␈αform␈↓ 	8␈ε(F␈↓ 	Z␈ε6↓␈ε"␈αε1␈↓ 	|␈ε"0␈↓ 
1␈ε"(usually
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"by␈α∞means␈α∞of␈α∞auxiliary␈α∞tables),␈α∞and␈α∞then␈α∂con␈α␈v␈α␈ert␈↓ πP␈ε(F␈↓ πl␈ε(f␈↓ λ∂␈ε"to␈α∞decimal.␈α⊗Alternativ␈α␈ely,
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α
can␈αm␈α␈ultiply␈ε(␈α
e␈ε"␈αby␈↓ ∧∃␈ε"log␈↓ ∧i␈ε"2␈αand␈α
round␈αthis␈α
to␈α
the␈αnearest␈α
in␈α␈teger␈↓ 	L␈ε(E␈↓ 	h␈ε";␈αthen␈α
divide
␈β∧␈↓ ∧C␈ε%10
␈β∧!␈↓ α¬␈ε+e␈↓ αu␈ε+E␈↓ 
:␈ε+E
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε(f␈↓ ↓c␈ε6↓␈↓ ↓s␈ε"2␈↓ α∨␈ε"by␈α1␈↓ αc␈ε"0␈↓ β_␈ε"and␈αcon␈α␈v␈α␈ert␈αthe␈αresult.␈α⊂Con␈α␈v␈α␈ersely,␈αgiv␈α␈en␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ 	d␈ε(F␈↓ 
ε␈ε6↓␈ε"␈αε1␈↓ 
(␈ε"0␈↓ 
]␈ε"to␈αbe
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈erted␈α	to␈α
binary,␈α
w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈↓ εε␈ε(F␈↓ ε,␈ε"and␈α
then␈α
m␈α␈ultiply␈α
it␈α	by␈α
the␈α
⎇oating␈α	poin␈α␈t
␈β∧x␈↓ αk␈ε+E
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α	1␈↓ αY␈ε"0␈↓ β
␈ε"(again␈α	by␈α
using␈α	auxiliary␈α
tables).␈α∂Obvious␈α
techniques␈α	can␈α	be␈α
used␈α	to
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"reduce␈α
the␈αmaxim␈α␈um␈α
size␈αof␈αthe␈α
auxiliary␈αtables␈αby␈α
using␈αsev␈α␈eral␈α
m␈α␈ultiplications
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"and/or␈αdivisions,␈αalth␈α↓ough␈αthis␈αcan␈αcause␈αrounding␈αerrors␈αto␈αpropagate.
␈βε∪␈↓ ↓H␈ε2E.␈↓ ↓w␈ε2Multiple-precision␈α
con␈α␈v␈α␈ersion.␈ε"␈α≤When␈α∞con␈α␈v␈α␈erting␈α
extremely␈α
long␈α∞n␈α␈um␈α␈bers,␈α
it
␈βε?␈↓ ↓H␈ε"is␈αm␈α↓ost␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αto␈αstart␈αby␈αcon␈α␈v␈α␈erting␈αblocks␈αof␈αdigits,␈αwhich␈αcan␈αbe␈αhandled
␈βεj␈↓ ↓H␈ε"by␈α
single-precision␈α
techniques,␈αand␈α
then␈αto␈α
com␈α␈bine␈α
these␈α
blocks␈αby␈α
using␈α
simple
␈βπ∂␈↓ 	)␈ε+n
␈βπ∃␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiple-precision␈α⊃techniques.␈α"F␈α⎇or␈α⊃example,␈α∀suppose␈α⊃that␈α∩1␈↓ 	↔␈ε"0␈↓ 	O␈ε"is␈α∩the␈α⊃highest
␈βπ@␈↓ ↓H␈ε"po␈α␈w␈α␈er␈αof␈α10␈αless␈αthan␈αthe␈αcomputer␈αw␈α␈ord␈αsize.␈α⊂Then
␈βπu␈↓ ↓b␈ε"a)␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α⊃con␈α␈v␈α␈ert␈α⊂a␈α⊃m␈α␈ultiple-precision␈ε/␈α⊃in␈α␈teger␈ε"␈α⊃from␈α⊂binary␈α⊃to␈α⊃decimal,␈α∩divide␈α⊂it
␈βλα␈↓ βr␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈βλ≠␈↓ βQ␈ε+n␈↓ λ|␈ε+n
␈βλ!␈↓ ↓H␈ε"repeatedly␈α
by␈α∞1␈↓ β?␈ε"0␈↓ ∧␈ε"th␈α␈us␈α∞con␈α␈v␈α␈erting␈α
from␈α∞binary␈α
to␈α
radix␈α∞1␈↓ λj␈ε"0␈↓ 	≡␈ε"by␈α
Meth␈α↓od␈α
(1a)␈↓ "␈ε".
␈βλL␈↓ ↓H␈ε"Single-precision␈α∞operations␈α∂will␈α∂giv␈α␈e␈α∂the␈ε(␈α∞n␈ε"␈α∂decimal␈α∂digits␈α∞for␈α∂each␈α∂place␈α∂of␈α∞the
␈βλq␈↓ αJ␈ε+n
␈βλw␈↓ ↓H␈ε"radix-1␈↓ α8␈ε"0␈↓ αj␈ε"represen␈α␈tation.
␈β	"␈↓ ↓`␈ε"b)␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α⊃con␈α␈v␈α␈ert␈α⊃a␈α⊂m␈α␈ultiple-precision␈ε/␈α⊃fraction␈ε"␈α⊃from␈α⊃binary␈α⊃to␈α⊂decimal,␈α∩proceed
␈β	/␈↓ ¬≤␈ε↓␈␈↓ 	w␈ε↓↓
␈β	G␈↓ ∧|␈ε+n␈↓ 	b␈ε+n
␈β	M␈↓ ↓H␈ε"similarly,␈αm␈α␈ultiplying␈αby␈α1␈↓ ∧j␈ε"0␈↓ ¬*␈ε"i.e.,␈αusing␈αMeth␈α↓od␈α(2a)␈αwith␈↓ λk␈ε(B␈↓ 	⊂␈ε"=␈α
1␈↓ 	P␈ε"0␈↓ 
¬␈ε".
␈β	y␈↓ ↓d␈ε"c)␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α∪con␈α␈v␈α␈ert␈α∪a␈α∪m␈α␈ultiple-precision␈α∪in␈α␈teger␈α∪from␈α∪decimal␈α∪to␈α∪binary,␈α∀con␈α␈v␈α␈ert
␈β
≡␈↓ 	w␈ε+n
␈β
$␈↓ ↓H␈ε"blocks␈α	of␈ε(␈α	n␈ε"␈α	digits␈α	|rst;␈αthen␈α	use␈α	Meth␈α↓od␈α	(1b)␈α
to␈α	con␈α␈v␈α␈ert␈α	from␈α	radix␈α
1␈↓ 	e␈ε"0␈↓ 
∀␈ε"to␈α	binary.
␈β
O␈↓ ↓`␈ε"d)␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈α	a␈α
m␈α␈ultiple-precision␈α	fraction␈α	from␈α
decimal␈α	to␈α
binary,␈α
con␈α␈v␈α␈ert␈α	|rst
␈β
t␈↓ αv␈ε+n
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"to␈αradix␈α1␈↓ αd␈ε"0␈↓ β⊗␈ε"as␈αin␈α(c),␈αthen␈αuse␈αMeth␈α↓od␈α(2b).
␈β:␈↓ ↓H␈ε2F.␈αHistory␈αand␈αBibliograph␈α␈y.␈ε"␈α_Radix-con␈α␈v␈α␈ersion␈αtechniques␈αimplicitly␈αoriginated
␈βe␈↓ ↓H␈ε"in␈αλancien␈α␈t␈αλproblems␈αλdealing␈αλwith␈αλw␈α␈eigh␈α␈ts,␈α	measures,␈α	and␈αλcurrencies,␈α	where␈αλmixed-
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"radix␈αsystems␈αw␈α␈ere␈αgenerally␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed;␈αauxiliary␈αtables␈αw␈α␈ere␈αusually␈αprepared␈αto
␈β;␈↓ ↓H␈ε"help␈α
mak␈α␈e␈α∞the␈α∞con␈α␈v␈α␈ersions.␈α⊗During␈α∞the␈α
sev␈α␈en␈α␈teen␈α␈th␈α∞cen␈α␈tury,␈α∂when␈α
sexagesimal
␈βf␈↓ ↓H␈ε"fractions␈α
w␈α␈ere␈α
being␈α
supplan␈α␈ted␈α
by␈α
decimal␈α
fractions,␈α
it␈α
w␈α␈as␈α
necessary␈α
to␈α
con␈α␈v␈α␈ert
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"bet␈α␈w␈α␈een␈α
the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α∞systems␈α
in␈α
order␈α∞to␈α
use␈α
existing␈α
bo␈α↓oks␈α∞of␈α
astron␈α↓omical␈α
tables;
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"a␈α
systematic␈αmeth␈α↓od␈α
to␈α
transform␈α
fractions␈α
from␈α
radix␈α
60␈α
to␈α
radix␈α
10␈α
and␈αvice
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈ersa␈αw␈α␈as␈αgiv␈α␈en␈αin␈αthe␈α1667␈αedition␈αof␈αWilliam␈↓ π*␈ε"Ough␈α␈tred's␈ε/␈αCla␈α␈vis␈αMathematic≤␈ε",
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α⊃6,␈α∀Section␈α⊃18.␈α$(This␈α⊃material␈α∩w␈α␈as␈α∩n␈α↓ot␈α∩presen␈α␈t␈α⊃in␈α∩the␈α∩original␈α⊃1631
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"edition␈α∂of␈α⊂Ough␈α␈tred's␈α⊂bo␈α↓ok.)␈α Con␈α␈v␈α␈ersion␈α⊂rules␈α⊂had␈α∂already␈α⊂been␈α⊂giv␈α␈en␈α⊂by␈↓ ∧␈ε"al-
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"Kash␈↓ α∀␈ε"∂␈↓ α_␈ε"␈↓ α0␈ε"of␈α∞Persia␈α∂in␈α∞his␈ε/␈α∂Key␈α∞to␈α∞Arithmetic␈ε"␈α∂(c.␈α↔1414),␈α∂where␈α∞Meth␈α↓ods␈α∞(1a),␈α∂(1b),
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞(2a)␈α∞are␈α∞clearly␈α∞explained␈α∞[␈ε/Istorik␈α␈o-Mat.␈α∞Issled.␈ε2␈α∞7␈ε"␈α∞(1954),␈α∞126↑135],␈α∞but␈α∞his
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ork␈α
w␈α␈as␈α
unkn␈α↓o␈α␈wn␈α	in␈α
Europe.␈α⊂The␈α
18th␈α
cen␈α␈tury␈α
American␈α	mathematician␈α
Hugh
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"Jones␈α
used␈α
the␈α∞w␈α␈ords␈α
\octa␈α␈v␈α}ation"␈α
and␈α∞\decimation"␈α
to␈α
describe␈α
octal/decimal
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersions,␈α∪but␈α∪his␈α∩meth␈α↓ods␈α∩w␈α␈ere␈α∩n␈α↓ot␈α∪as␈α∩clev␈α␈er␈α∩as␈α∩his␈α∪termin␈α↓ology.␈α"A.␈α∩M.
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"Legendre␈α
[␈ε/Th␈↓ β≤␈ε/∞␈↓ β≥␈ε/e␈↓ β-␈ε/orie␈α∞des␈α∞n␈α↓om␈α␈bres␈ε"␈α∞(Paris:␈α⊂1798),␈α∞229]␈α∞n␈α↓oted␈α∞that␈α∞positiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"ma␈α␈y␈αbe␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈tly␈αcon␈α␈v␈α␈erted␈αto␈αbinary␈αform␈αif␈αthey␈αare␈αrepeatedly␈αdivided␈αby
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"64.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"310␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"In␈α1946,␈α
H.␈αH.␈↓ βq␈ε"Goldstine␈α
and␈αJ.␈↓ ¬|␈ε"v␈α␈on␈αNeumann␈α
ga␈α␈v␈α␈e␈αprominen␈α␈t␈α
consideration
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"to␈αradix␈α
con␈α␈v␈α␈ersion␈α
in␈α
their␈α
classic␈αmem␈α↓oir,␈α
\Planning␈α
and␈α
coding␈α
problems␈αfor
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"an␈α
electronic␈αcomputing␈αinstrumen␈α␈t,"␈αbecause␈αit␈αw␈α␈as␈α
necessary␈αto␈αjustify␈αthe␈α
use
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂binary␈α⊂arithmetic;␈α∩see␈α⊂John␈α⊂v␈α␈on␈α⊂Neumann,␈ε/␈α⊃Collected␈α⊂W␈α⎇orks␈ε2␈α⊂5␈ε"␈α⊂(New␈α⊂Y␈α⎇ork:
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"Macmillan,␈α∩1963),␈α∪127↑142.␈α An␈α↓other␈α∩early␈α⊃discussion␈α⊃of␈α∩radix␈α⊃con␈α␈v␈α␈ersion␈α⊃on
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"binary␈α∂computers␈α∂w␈α␈as␈α∂published␈α∂by␈α∂F.␈↓ εB␈ε"Ko␈α↓ons␈α∂and␈α∂S.␈↓ λ*␈ε"Lubkin,␈ε/␈α⊂Math.␈α∂Comp.␈ε2␈α∂3
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"(1949),␈α∞427↑431,␈α∂wh␈α↓o␈α∞suggested␈α∂a␈α∞rather␈α∞un␈α␈usual␈α∞meth␈α↓od.␈α↔The␈α∞|rst␈α∞discussion
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α⊂con␈α␈v␈α␈ersion␈α∂w␈α␈as␈α∂giv␈α␈en␈α∂somewhat␈α⊂later␈α∂by␈α∂F.␈α⊂L.␈↓ 	R␈ε"Bauer␈α∂and␈α∂K.
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"Samelson␈α[␈ε/Zeit.␈αf␈↓ βP␈ε/u␈↓ βQ␈ε/∪␈↓ βd␈ε/r␈αangew␈α␈andte␈αMath.␈αund␈αPh␈α␈ysik␈ε2␈α4␈ε"␈α(1953),␈α312↑316].
␈β¬)␈↓ α␈ε"The␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊃articles␈α⊂ma␈α␈y␈α⊂be␈α⊂useful␈α⊃for␈α⊂further␈α⊂reference:␈α∃A␈α⊂n␈α↓ote␈α⊂by␈α⊂G.
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"T.␈↓ ↓}␈ε"Lak␈α␈e␈α∪[␈ε/CA␈α␈CM␈ε2␈α∪5␈ε"␈α∩(1962),␈α∃468↑469]␈α∪men␈α␈tions␈α∩some␈↓ λ&␈ε"hardw␈α␈are␈α∪techniques␈α∩for
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈ersion␈α⊂and␈α⊂giv␈α␈es␈α⊂clear␈α⊂examples.␈α≤A.␈α⊂H.␈↓ π→␈ε"Stroud␈α∂and␈α⊂D.␈↓ 	⊂␈ε"Secrest␈α⊂[␈ε/Comp.␈α⊂J.
␈βε*␈↓ ↓H␈ε26␈ε"␈α∂(1963),␈α⊃62↑66]␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂discussed␈α∂con␈α␈v␈α␈ersion␈α⊂of␈α⊂m␈α␈ultiple-precision␈α⊂⎇oating␈α∂poin␈α␈t
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers.␈α∂The␈α	con␈α␈v␈α␈ersion␈α
of␈ε/␈α	unn␈α↓ormalized␈ε"␈α	⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	n␈α␈um␈α␈bers,␈α
preserving␈α	the
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"am␈α↓oun␈α␈t␈α	of␈α
\signi|cance"␈α
implied␈α
by␈α	the␈α
represen␈α␈tation,␈α
has␈α
been␈α
discussed␈α
by␈α	H.
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"Kanner␈α[␈ε/JA␈α␈CM␈ε2␈α12␈ε"␈α(1965),␈α242↑246]␈αand␈αby␈αN.␈↓ π%␈ε"Metropolis␈αand␈αR.␈αL.␈↓ 	{␈ε"Ashenh␈α␈urst
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/Math.␈α
Comp.␈ε2␈α∞19␈ε"␈α
(1965),␈α∞435↑441].␈α∃See␈α∞also␈α
K.␈↓ πB␈ε"Sikdar,␈ε/␈α∞Sankh␈α␈y␈↓ 	4␈ε/∩␈↓ 	4␈ε/a␈↓ 	S␈ε"(B)␈ε2␈α∞30␈ε"␈α
(1968),
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"315↑334,␈αand␈αthe␈αreferences␈αcited␈αin␈αhis␈αpaper.
␈βλz␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β	@␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	B␈↓ ↓c␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α∞M␈α␈ethod␈α∞(1␈α␈b)␈α∞so␈α∞th␈α␈at␈α∞it␈α∞w␈α␈ork␈α␈s␈α∞wi␈α↓th␈α
arb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry␈α∞mix␈α␈ed-ra␈α␈dix␈α∞nota␈α␈-
␈β	i␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈ns,␈αcon␈α}v␈α␈ertin␈α␈g
␈β
,␈↓ ↓U␈ε)a␈↓ α␈ε)b␈↓ αU␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ βα␈ε)b␈↓ β∨␈ε)b␈↓ βD␈ε#+␈↓ βm␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧≠␈ε#+␈↓ ∧D␈ε)a␈↓ ∧e␈ε)b␈↓ ¬
␈ε#+␈↓ ¬2␈ε)a␈↓ ¬w␈ε#i␈α↓n␈α}to␈↓ εT␈ε)A␈↓ π␈ε)B␈↓ πo␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λ≠␈ε)B␈↓ λB␈ε)B␈↓ λq␈ε#+␈↓ 	→␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	H␈ε#+␈↓ 	p␈ε)A␈↓ 
↔␈ε)B␈↓ 
F␈ε#+␈↓ 
o␈ε)A␈↓ ⊗␈ε#,
␈β
7␈↓ ↓g␈ε,m␈↓ α∞␈ε,m␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ β⊂␈ε&1␈↓ β.␈ε&0␈↓ ∧V␈ε&1␈↓ ∧s␈ε&0␈↓ ¬D␈ε&0␈↓ εl␈ε,M␈↓ π"␈ε,M␈↓ π@␈ε:␈␈ε&1␈↓ λ3␈ε&1␈↓ λZ␈ε&0␈↓ 
λ␈ε&1␈↓ 
/␈ε&0␈↓ π␈ε&0
␈β
n␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈α0␈ε7␈α	∀␈↓ αl␈ε)a␈↓ β∃␈ε#<␈↓ β@␈ε)b␈↓ βg␈ε#an␈α␈d␈α0␈ε7␈α	∀␈↓ ∧l␈ε)A␈↓ ¬ ␈ε#<␈↓ ¬K␈ε)B␈↓ ε↓␈ε#fo␈α␈r␈α0␈ε7␈αλ∀␈↓ εy␈ε)j␈↓ π∩␈ε#<␈ε)␈α	m␈ε#␈αan␈α␈d␈α0␈ε7␈α	∀␈↓ λj␈ε)J␈↓ 	
␈ε#<␈↓ 	5␈ε)M␈↓ 	Z␈ε#.
␈β
y␈↓ α}␈ε,j␈↓ βN␈ε,j␈↓ ¬∧␈ε,J␈↓ ¬c␈ε,J
␈β∃␈↓ α␈ε#Giv␈α␈e␈α∩a␈α␈n␈α∩ex␈α␈amp␈α␈le␈α∩of␈α∩y␈α␈o␈α␈ur␈α∩ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈α∩b␈α␈y␈α∩ma␈α␈n␈α␈u␈α␈ally␈α∩con␈α}v␈α␈ert␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∩th␈α␈e␈α∩qu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y
␈β=␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈3␈αda␈α␈y␈α␈s,␈α9␈αhou␈α␈rs,␈α12␈αm␈α␈i␈α↓n␈α}utes␈α␈,␈αan␈α␈d␈α37␈αsec␈α␈ond␈α␈s"␈αin␈α␈to␈αlon␈α␈g␈αton␈α␈s,␈αh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈α␈we␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈ts,␈αston␈α␈es,
␈βe␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s,␈αan␈α␈d␈αou␈α␈nc␈α␈es.␈α~(Let␈αone␈αse␈α␈con␈α␈d␈αequ␈α␈al␈αone␈αo␈α␈un␈α␈ce.␈α⊂Th␈α␈e␈αB␈α↓ritish␈αsy␈α␈stem␈αof␈αw␈α␈eigh␈α␈t␈α␈s
␈β␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈αλ1␈α	sto␈α␈ne␈αλ=␈α
1␈α␈4␈α	p␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s,␈α
1␈αλh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈α␈we␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αλ=␈α
8␈αλsto␈α␈ne,␈α	1␈α	lon␈α␈g␈αλton␈αλ=␈α	20␈αλh␈α␈u␈α␈nd␈α␈redw␈α␈eigh␈α}t.)
␈β4␈↓ ↓H␈ε#In␈αo␈α␈the␈α␈r␈α
w␈α␈or␈α␈ds,␈α
let␈↓ βe␈ε)b␈↓ ∧∞␈ε#=␈α6␈α␈0,␈↓ ∧r␈ε)b␈↓ ¬≠␈ε#=␈α60,␈↓ ¬␈␈ε)b␈↓ ε'␈ε#=␈α24␈α␈,␈ε)␈α
m␈ε#␈α=␈α3␈α␈,␈↓ λπ␈ε)B␈↓ λ:␈ε#=␈α16,␈↓ 	≥␈ε)B␈↓ 	P␈ε#=␈α14,␈↓ 
4␈ε)B␈↓ 
f␈ε#=␈α8␈α␈,
␈β?␈↓ βt␈ε&0␈↓ ¬␈ε&1␈↓ ε
␈ε&2␈↓ λ∨␈ε&0␈↓ 	5␈ε&1␈↓ 
K␈ε&2
␈β[␈↓ ↓H␈ε)B␈↓ ↓{␈ε#=␈α20␈α␈,␈↓ α`␈ε)M␈↓ β⊃␈ε#=␈α4;␈α∞th␈α␈e␈α
p␈α␈roblem␈αis␈α
to␈α|n␈α␈d␈↓ ε6␈ε)A␈↓ ε]␈ε#,␈↓ εs␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π ␈ε#,␈↓ π6␈ε)A␈↓ πj␈ε#in␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈rop␈α␈er␈α
ra␈α␈ng␈α␈es␈α
su␈α␈ch␈αtha␈α␈t
␈βg␈↓ ↓←␈ε&3␈↓ εN␈ε&4␈↓ πN␈ε&0
␈β
β␈↓ ↓H␈ε#3␈↓ ↓X␈ε)b␈↓ ↓v␈ε)b␈↓ α∪␈ε)b␈↓ α8␈ε#+␈απ2␈↓ αp␈ε)b␈↓ β∞␈ε)b␈↓ β2␈ε#+␈απ12␈↓ β|␈ε)b␈↓ ∧ ␈ε#+␈απ37␈α	=␈↓ ¬≥␈ε)A␈↓ ¬D␈ε)B␈↓ ¬k␈ε)B␈↓ ε∪␈ε)B␈↓ ε:␈ε)B␈↓ εg␈ε#+␈↓ π∂␈ε)A␈↓ π7␈ε)B␈↓ π↑␈ε)B␈↓ λ¬␈ε)B␈↓ λ3␈ε#+␈↓ λ[␈ε)A␈↓ 	α␈ε)B␈↓ 	)␈ε)B␈↓ 	W␈ε#+␈↓ 	␈␈ε)A␈↓ 
&␈ε)B␈↓ 
T␈ε#+␈↓ 
|␈ε)A␈↓ #␈ε#,
␈β
∂␈↓ ↓g␈ε&2␈↓ α∧␈ε&1␈↓ α"␈ε&0␈↓ α␈␈ε&1␈↓ β≤␈ε&0␈↓ ∧
␈ε&0␈↓ ¬5␈ε&4␈↓ ¬\␈ε&3␈↓ εβ␈ε&2␈↓ ε*␈ε&1␈↓ εQ␈ε&0␈↓ π'␈ε&3␈↓ πN␈ε&2␈↓ πv␈ε&1␈↓ λ≥␈ε&0␈↓ λs␈ε&2␈↓ 	~␈ε&1␈↓ 	A␈ε&0␈↓ 
↔␈ε&1␈↓ 
>␈ε&0␈↓ ∀␈ε&0
␈β
+␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sing␈α
a␈α
sy␈α␈stema␈α␈ti␈α↓c␈α
m␈α␈eth␈α↓o␈α␈d␈α
th␈α␈at␈α
gen␈α␈eralizes␈α
Me␈α␈th␈α↓o␈α␈d␈α
(1b).␈α⊗(All␈αar␈α␈i␈α↓th␈α␈metic␈α
is␈αt␈α␈o␈α
be␈α
d␈α␈one
␈β
R␈↓ ↓H␈ε#in␈αa␈α
mixed␈α␈-rad␈α␈i␈α↓x␈α
syste␈α␈m.)
␈β∞β␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α
M␈α␈eth␈α↓o␈α␈d␈α
(1a␈α␈)␈α∞so␈α
th␈α␈at␈α
i␈α↓t␈α
w␈α␈ork␈α␈s␈α
wi␈α↓th␈αmixed␈α␈-rad␈α␈i␈α↓x␈α
nota␈α␈tions,␈α∞a␈α␈s␈α∞in
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α1,␈α
an␈α␈d␈αgiv␈α␈e␈αan␈αexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈αof␈α
y␈α}ou␈α␈r␈α
ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αby␈αma␈α␈n␈α␈ua␈α␈ll␈α↓y␈αso␈α␈l␈α↓v␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αsame
␈β∞R␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}ersion␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αstate␈α␈d␈αin␈αex␈α␈ercise␈α1␈α␈.
␈β∂↓␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂β␈↓ ↓c␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(D.␈↓ β∂␈ε#T␈α⎇aran␈α}to.)␈α⊃W␈α↓h␈α␈en␈α	fra␈α␈ction␈α␈s␈α	are␈α	b␈α␈eing␈α	c␈α␈on␈α␈v␈α}erted␈α␈,␈α
th␈α␈ere␈α	is␈α	n␈α↓o␈αλob␈α␈viou␈α␈s␈α	wa␈α}y␈α	to
␈β∂+␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ecid␈α␈e␈α	ho␈α␈w␈α	ma␈α␈n␈α␈y␈αλdigits␈α	to␈αλgiv␈α␈e␈αλin␈α	th␈α␈e␈α	a␈α␈nsw␈α␈er.␈α∞Design␈αλa␈αλsi␈α↓m␈α␈ple␈α	g␈α␈ene␈α␈ralization␈αλof␈α	M␈α␈ethod
␈β∂R␈↓ ↓H␈ε#(2␈α␈a)␈αtha␈α␈t,␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αt␈α␈w␈α␈o␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αra␈α␈dix␈α␈-␈ε)␈α↓b␈ε#␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈ε)␈α∂␈ε#␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α0␈αan␈α␈d␈α1␈α␈,␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rts␈ε)␈αu␈ε#␈α
to
␈β∂z␈↓ ↓H␈ε#a␈α∞rou␈α␈nd␈α␈ed␈α∞rad␈α␈ix-␈↓ βC␈ε)B␈↓ βk␈ε#eq␈α␈uiv␈α}alen␈α}t␈↓ ¬␈ε)U␈↓ ¬5␈ε#tha␈α␈t␈α∂h␈α␈as␈α∂ju␈α␈st␈α∂e␈α␈n␈α↓ou␈α␈gh␈α∞p␈α␈l␈α↓a␈α␈ces␈↓ λb␈ε)M␈↓ 	↔␈ε#to␈α∞th␈α␈e␈α∂righ␈α}t␈α∂o␈α␈f␈α∂the
␈β⊂≤␈↓ 
7␈ε:␈␈ε,m
␈β⊂∨␈↓ ε.␈ε"(
␈β⊂!␈↓ ↓H␈ε#ra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αto␈αensu␈α␈re␈αtha␈α␈t␈ε7␈αj␈↓ ∧[␈ε)U␈↓ ∧}␈ε7␈␈ε)␈α	u␈ε7j␈ε#␈α<␈ε)␈α∂␈ε#␈α␈.␈↓ ε:␈ε#In␈αp␈α␈articu␈α␈lar␈αif␈ε)␈α
u␈ε#␈αi␈α↓s␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 
)␈ε)b␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β⊂C␈↓ α≠␈ε:␈␈ε,m
␈β⊂I␈↓ ↓H␈ε)∂␈ε#␈α
=␈↓ α␈ε)b␈↓ αN␈ε#/2␈α␈,␈α
th␈α␈e␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ∧>␈ε)U␈↓ ∧d␈ε#wi␈α↓ll␈αha␈α}v␈α␈e␈αju␈α␈st␈αenoug␈α␈h␈αd␈α␈igits␈αso␈αth␈α␈at␈ε)␈αu␈ε#␈αcan␈αb␈α␈e␈αreco␈α␈mpu␈α␈ted
␈β⊂n␈↓ 
V␈ε&1
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α␈,␈α⊃g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈↓ β%␈ε)U␈↓ βO␈ε#a␈α␈nd␈ε)␈α∂m␈ε#␈α␈.␈α≤N␈α␈ote␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬w␈ε)M␈↓ ε,␈ε#migh␈α}t␈α∂be␈α∂zero␈α␈;␈α∩fo␈α␈r␈α⊂e␈α␈xam␈α␈ple,␈α⊂i␈α↓f␈ε)␈α∂∂␈ε7␈α⊂∀␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β⊃↓␈↓ 
V␈ε&2
␈β⊃∧␈↓ 
V␈∧⊃∧
Vα∞
␈β⊃⊗␈↓ ε
␈ε")
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε)u␈ε#␈α	>␈α
1␈ε7␈απ␈␈ε)␈αλ∂␈ε#,␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈per␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αis␈↓ ¬$␈ε)U␈↓ ¬H␈ε#=␈α
1␈α␈.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.4␈↓ 
v␈ε"311
␈β↓\␈↓ πr␈ε∞RA␈α↓DIX␈α
CONV␈α↓ERS␈α␈ION
␈βα%␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(a)␈α
Pro␈α␈v␈α␈e␈α	that␈α
e␈α␈v␈α␈ery␈α	real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
with␈α
a␈α
t␈α␈ermina␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈ε0␈α
b␈α␈inary␈ε#␈α	rep␈α␈resen␈α}tation
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α∂has␈α∂a␈α∂te␈α␈rminat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈ε0␈α∂de␈α␈cimal␈ε#␈α∂repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion.␈α!(b)␈α∂Fi␈α↓n␈α␈d␈α∂a␈α∂simp␈α␈le␈α∂con␈α␈dition␈α∂o␈α␈n␈α∂the
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈α
b␈ε#␈α
a␈α␈nd␈↓ ∧≥␈ε)B␈↓ ∧C␈ε#tha␈α␈t␈α
is␈α
sa␈α␈ti␈α↓s␈α␈|ed␈αif␈α
an␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈α
ev␈α}ery␈αreal␈α
n␈α}um␈α}ber␈αtha␈α␈t␈α
ha␈α␈s␈α
a
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αrad␈α␈ix-␈ε)b␈ε#␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αa␈α␈l␈α↓so␈α
ha␈α␈s␈αa␈α
termin␈α␈ating␈αra␈α␈dix␈α␈-␈↓ λm␈ε)B␈↓ 	⊃␈ε#rep␈α␈resen␈α}tation␈α␈.
␈ββJ␈↓ 
y␈ε,n
␈ββO␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Sho␈α␈w␈α∂tha␈α␈t␈α∂pro␈α␈gram␈α∂(4␈α␈)␈α⊂w␈α␈o␈α␈uld␈α∂still␈α⊂w␈α␈or␈α␈k␈α∂if␈α⊂th␈α␈e␈α∂instru␈α␈ction␈α∂\␈↓ 
W␈ε#1␈↓ 
h␈ε#0␈↓ ≤␈ε#"
␈ββQ␈↓ 
α␈ε∃LDX␈α⊃=␈↓ ␈ε∃=
␈ββw␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈ere␈α
replac␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α\␈↓ ∧-␈ε)c␈↓ ∧L␈ε#"␈αfor␈αc␈α␈ertain␈αo␈α␈the␈α␈r␈αc␈α␈on␈α␈stan␈α␈ts␈ε)␈αc␈ε#.
␈ββy␈↓ βX␈ε∃LDX␈α⊃=␈↓ ∧;␈ε∃=
␈β∧*␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)30␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Discu␈α␈ss␈αusin␈α␈g␈αMethod␈α␈s␈α(1a),␈α(1b␈α␈),␈α(2a␈α␈),␈αa␈α␈nd␈α
(2b)␈↓ λ_␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈αb␈ε#␈αor␈↓ 	1␈ε)B␈↓ 	U␈ε#i␈α↓s␈ε7␈α␈␈ε#2.
␈β∧↑␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αtha␈α␈t␈α
0␈α<␈ε)␈α␈ε7␈α∀␈ε)␈αx␈ε7␈α∀␈ε)␈α␈ε#␈αλ+␈α	1/␈↓ εu␈ε)w␈↓ π≠␈ε#an␈α␈d␈α
0␈ε7␈α∀␈ε)␈α
u␈ε7␈α∀␈↓ λu␈ε)w␈↓ 	∞␈ε#,␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈ε7␈α
b␈ε)ux␈ε7␈α␈c␈ε#␈α
is
␈⬬␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈qua␈α␈l␈α
to␈αeithe␈α␈r␈ε7␈α
b␈ε)␈α␈u␈ε7␈α↓c␈ε#␈αor␈ε7␈αb␈ε)u␈ε7c␈ε#␈αλ+␈α	1.␈α∪F␈α⎇urth␈α␈erm␈α↓o␈α␈re␈ε7␈α
b␈ε)ux␈ε7c␈ε#␈α=␈ε7␈αb␈ε)␈α␈u␈ε7␈α↓c␈ε#␈αexa␈α␈ctly,␈α
if␈ε)␈α
u␈ε#␈α<␈ε)␈α␈↓ 
Q␈ε)w␈↓ 
w␈ε#a␈α␈nd
␈β¬'␈↓ ↓]␈ε:␈␈ε&␈α↓1
␈β¬-␈↓ ↓H␈ε)␈↓ α∩␈ε#is␈αan␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r.
␈β¬`␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)24␈↓ α;␈ε#]␈α⊗W␈α⎇rite␈αa␈↓ ∧⊂␈ε#pro␈α␈gra␈α␈m␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈αto␈α(␈α↓1␈α␈)␈αth␈α␈at␈αuse␈α␈s␈α(5)␈αan␈α␈d␈αinclu␈α␈des␈αno␈αd␈α␈ivision
␈β¬b␈↓ βR␈ε∃MIX
␈βελ␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈struct␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈βε5␈↓ εH␈ε&34
␈βε;␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈αu␈ε#␈αbe␈αan␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α0␈ε7␈α	∀␈ε)␈α
u␈ε#␈α
<␈↓ ε7␈ε#2␈↓ εe␈ε#.␈α⊂Ass␈α␈ume␈αth␈α␈at␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αse␈α␈qu␈α␈ence␈αo␈α␈f
␈βεc␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈pera␈α␈tions␈α(e␈α␈quiv␈α}a␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈αto␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αan␈α␈d␈αb␈α␈inary␈α
\sh␈α␈i␈α↓$-righ␈α}t"␈αinstr␈α␈uction␈α␈s)␈αi␈α↓s␈αp␈α␈erform␈α␈ed:
␈βπ,␈↓ 	#␈ε:␈␈ε&␈α↓4
␈βπ/␈↓ βU␈ε&1␈↓ εP␈ε&1
␈βπ2␈↓ α␈␈ε)v␈↓ β~␈ε7␈ ␈α
b␈↓ βg␈ε)u␈ε7c␈ε#,␈↓ ¬8␈ε)v␈↓ ¬S␈ε7␈ ␈↓ ¬⎇␈ε)v␈↓ ε↔␈ε#+␈ε7␈απb␈↓ εa␈ε)v␈↓ εs␈ε7c␈ε#,
␈βπ4␈↓ π␈␈ε)v␈↓ λ~␈ε7␈ ␈↓ λD␈ε)v␈↓ λ]␈ε#+␈ε7␈αλb␈↓ 	∪␈ε#2␈↓ 	M␈ε)v␈↓ 	←␈ε7c␈ε#,
␈βπB␈↓ βU␈ε&2␈↓ εP␈ε&2
␈βπE␈↓ βU␈∧πEβUα∞␈↓ εP␈∧πEεPα∞
␈βπ`␈↓ ∧$␈ε:␈␈ε&8␈↓ ε]␈ε:␈␈ε&16
␈βπg␈↓ λU␈ε&1
␈βπh␈↓ α␈␈ε)v␈↓ β~␈ε7␈ ␈↓ βE␈ε)v␈↓ β↑␈ε#+␈ε7␈απb␈↓ ∧∪␈ε#2␈↓ ∧N␈ε)v␈↓ ∧←␈ε7c␈ε#,␈↓ ¬8␈ε)v␈↓ ¬S␈ε7␈ ␈↓ ¬⎇␈ε)v␈↓ ε↔␈ε#+␈ε7␈απb␈↓ εL␈ε#2␈↓ π∀␈ε)v␈↓ π&␈ε7c␈ε#,
␈βπj␈↓ π␈␈ε)v␈↓ λ~␈ε7␈ ␈α	b␈↓ λf␈ε)v␈↓ λx␈ε7c␈ε#.
␈βπz␈↓ λU␈ε&8
␈βπ⎇␈↓ λU␈∧π⎇λUα∞
␈βλ7␈↓ ↓H␈ε#Pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ αm␈ε)v␈↓ βλ␈ε#=␈ε7␈α
b␈ε)u␈ε#/1␈α␈0␈ε7c␈ε#␈αor␈ε7␈αb␈ε)u␈ε#/10␈ε7␈α␈c␈αλ␈␈ε#␈απ1.
␈βλj␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Th␈α␈e␈α	text␈α	sho␈α␈ws␈α	h␈α↓o␈α}w␈α
a␈α	b␈α␈inary␈α␈-cod␈α␈ed␈α	d␈α␈ecima␈α␈l␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α	can␈α	b␈α␈e␈α	do␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈α␈d␈α	by␈α	u␈α␈sing
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε#v␈α⎇ariou␈α␈s␈α∞sh␈α␈i$␈α↓in␈α␈g,␈α∞ext␈α␈racting␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
op␈α␈eration␈α␈s␈α∞o␈α␈n␈α
a␈α
bina␈α␈ry␈α
com␈α␈pu␈α␈ter.␈α⊗Giv␈α␈e␈α
an
␈β	9␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α∂met␈α␈h␈α↓od␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧.␈ε#co␈α␈mpu␈α␈tes␈ε0␈α∂h␈α␈alf␈↓ ε∩␈ε#of␈α∂a␈↓ ε\␈ε#bin␈α␈ary-c␈α␈ode␈α␈d␈α∂d␈α␈ecimal␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∂(th␈α␈ro␈α␈wing
␈β	a␈↓ ↓H␈ε#a␈α}w␈α␈a␈α␈y␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αif␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αis␈αod␈α␈d).
␈β
∀␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)16␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rt␈α(␈α↓5␈α␈772␈α␈1␈↓ ∧7␈ε#)␈↓ ∧\␈ε#to␈αd␈α␈ecimal.
␈β
 ␈↓ ∧B␈ε&8
␈β
E␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
G␈↓ ↓S␈ε31␈α␈2.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗In␈α}v␈α␈en␈α}t␈αa␈α
ra␈α␈pid␈α
p␈α␈enc␈α␈i␈α↓l-an␈α␈d-p␈α␈ap␈α␈er␈αm␈α␈ethod␈α
for␈α
co␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rti␈α↓n␈α␈g␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈α
from␈α
tern␈α␈ary
␈β
o␈↓ ↓H␈ε#nota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αto␈αde␈α␈ci␈α↓m␈α␈al,␈α
an␈α␈d␈αi␈α↓llus␈α␈trate␈αy␈α␈ou␈α␈r␈αmethod␈αb␈α␈y␈αcon␈α␈v␈α}erting␈α(1␈α␈212␈α␈011␈α␈210␈α␈210␈↓ 
M␈ε#)␈↓ 
t␈ε#in␈α␈to
␈β
{␈↓ 
X␈ε&3
␈β↔␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ecima␈α␈l␈α↓.␈α∂Ho␈α}w␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αy␈α}ou␈αg␈α␈o␈αfrom␈αd␈α␈ecima␈α␈l␈αto␈α
terna␈α␈ry?
␈βH␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βJ␈↓ ↓S␈ε31␈α␈3.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Assu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αlo␈α␈cation␈α␈s␈↓ ¬>␈ε#+␈απ1,␈↓ ε#␈ε#+␈απ2,␈↓ εp␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π≥␈ε#,␈↓ πI␈ε#+␈ε)␈απm␈ε#␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈in␈αa␈α
m␈α␈ultiple-p␈α␈recision
␈βL␈↓ ¬&␈ε∃U␈↓ ε␈ε∃U␈↓ π1␈ε∃U
␈βr␈↓ ↓H␈ε#fra␈α␈ction␈α
(.␈↓ αX␈ε)u␈↓ β∃␈ε)u␈↓ βW␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∧␈ε)u␈↓ ∧K␈ε#)␈↓ ∧c␈ε#,␈αwher␈α␈e␈ε)␈αb␈ε#␈αis␈αthe␈α
w␈α␈ord␈α
size␈αo␈α␈f␈↓ λ4␈ε#.␈αW␈α}rite␈αa␈↓ 	⎇␈ε#rou␈α␈tine␈α
tha␈α␈t
␈βt␈↓ λ↓␈ε∃MIX␈↓ 	?␈ε∃MIX
␈β⎇␈↓ αk␈ε:␈␈ε&1␈↓ β(␈ε:␈␈ε&2␈↓ ∧↔␈ε:␈␈ε,m␈↓ ∧V␈ε,b
␈β→␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}erts␈α∞this␈α∞fraction␈α∞to␈α∞d␈α␈ecima␈α␈l␈α∂notatio␈α␈n,␈↓ εM␈ε#trun␈α␈catin␈α␈g␈α∞i␈α↓t␈α∞to␈α∞18␈α␈0␈α∞dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α∂d␈α␈igits.␈α→The
␈βA␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nsw␈α␈er␈αshou␈α␈l␈α↓d␈αbe␈αp␈α␈ri␈α↓n␈α}ted␈αo␈α␈n␈αt␈α␈w␈α␈o␈αlines,␈αwi␈α↓th␈αthe␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈α
g␈α␈rou␈α␈ped␈αi␈α↓n␈α}to␈α20␈αb␈α␈lock␈α␈s␈αof␈αnine
␈βh␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈ach␈α
sepa␈α␈rated␈α
by␈αb␈α␈lan␈α␈ks.␈α→(U␈α↓s␈α␈e␈αthe␈↓ ε,␈ε#instr␈α␈uction␈α␈.)
␈βj␈↓ ¬]␈ε∃CHAR
␈β
~␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
≤␈↓ ↓S␈ε31␈α␈4.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(A.␈↓ β6␈ε#S␈α␈ch␈↓ βj␈ε#∪␈↓ βj␈ε#o␈↓ βz␈ε#nh␈α␈age␈α␈.␈α↓)␈α∨The␈α∞t␈α␈ext's␈α∞method␈α
of␈α∞con␈α}v␈α␈ertin␈α␈g␈α∞m␈α␈ultiple-p␈α␈recision␈α∞in␈α␈-
␈β
=␈↓ εZ␈ε&2
␈β
C␈↓ ↓H␈ε#te␈α␈gers␈α∞re␈α␈quires␈α
an␈α∞e␈α␈xec␈α␈ution␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α∞of␈α∞o␈α␈rder␈↓ εF␈ε)n␈↓ εw␈ε#to␈α∞c␈α␈on␈α␈v␈α}ert␈α∞an␈ε)␈α
n␈ε#-place␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r,␈α∂when␈ε)␈α
n
␈β
k␈↓ ↓H␈ε#is␈αlarg␈α␈e.␈α⊃Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αit␈αis␈αpo␈α␈ssible␈αto␈αcon␈α}v␈α␈ert␈ε)␈αn␈ε#␈α↓-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers␈αin␈α␈to␈αbina␈α␈ry␈αnota␈α␈-
␈β∞⊂␈↓ αS␈ε"(␈↓ βy␈ε")
␈β∞∩␈↓ ↓H␈ε#tio␈α␈n␈α∞in␈↓ α8␈ε)O␈↓ α←␈ε)M␈↓ β∧␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈↓ β5␈ε#lo␈α␈g␈↓ βe␈ε)n␈↓ ∧∪␈ε#step␈α␈s,␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬V␈ε)M␈↓ ¬{␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α∞is␈α∞a␈α␈n␈α∞u␈α␈pp␈α␈er␈α∞b␈α␈oun␈α␈d␈α
on␈α∞t␈α␈he␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞step␈α␈s
␈β∞:␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eed␈α␈ed␈α⊂to␈α∂m␈α␈ultip␈α␈l␈α↓y␈ε)␈α∂n␈ε#␈α↓-b␈α␈i␈α↓t␈α⊂b␈α␈ina␈α␈ry␈α⊂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈α⊂tha␈α␈t␈α⊂satis|␈α␈es␈α⊂the␈α⊂\␈α␈sm␈α↓oothn␈α␈ess␈α⊂co␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n"
␈β∞b␈↓ ↓H␈ε)M␈↓ ↓m␈ε#(2␈ε)n␈ε#)␈ε7␈α
∃␈ε#␈α	2␈↓ αm␈ε)M␈↓ β∩␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈↓ β=␈ε#.
␈β∂∃␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Can␈αth␈α␈e␈αu␈α␈pp␈α␈er␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αon␈α
the␈αtime␈αto␈α
con␈α}v␈α␈ert␈αlarg␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αgiv␈α␈en␈α
i␈α↓n␈α
exe␈α␈r-
␈β∂=␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈i␈α↓se␈α1␈α␈4,␈αbe␈αsu␈α␈bst␈α␈an␈α␈tially␈αlo␈α␈w␈α␈ere␈α␈d?␈α→(Cf.␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.3.3↑1␈α␈2.)
␈β∂p␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)41␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈nstru␈α␈ct␈α
a␈αfast␈αli␈α↓n␈α␈ea␈α␈r␈α
iterativ␈α}e␈α
a␈α␈rra␈α␈y␈αfor␈α
r␈α␈adix␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsi␈α↓o␈α␈n␈αfrom␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
to
␈β⊂_␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈inar␈α␈y␈α(cf.␈αS␈α␈ectio␈α␈n␈α4.3.3).
␈β⊂K␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Design␈αλ\␈α␈i␈α↓d␈α␈eal"␈↓ ∧R␈ε#⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αλcon␈α}v␈α␈ersion␈απsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es,␈α	ta␈α␈king␈ε)␈αλp␈ε#␈α␈-␈α↓d␈α␈igit␈αλdecima␈α␈l
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
in␈α␈to␈↓ β∃␈ε)P␈↓ β/␈ε#-d␈α␈igit␈α∞b␈α␈inary␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
an␈α␈d␈α
vice␈α
v␈α␈ersa␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈α
b␈α␈oth␈α
ca␈α␈ses␈α
pro␈α␈du␈α␈ci␈α↓n␈α␈g␈α
a␈α
true
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈un␈α␈ded␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈αin␈αt␈α␈he␈αsen␈α␈se␈αof␈αS␈α␈ection␈α
4.2.2.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"312␈↓ 
}␈ε"4.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈34␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(Da␈α␈v␈α␈id␈αW.␈↓ ∧3␈ε#Ma␈α␈tula.)␈α_Let␈↓ ε∧␈ε#rou␈α␈nd␈↓ εf␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈ε)␈αεp␈ε#)␈α
be␈αt␈α␈he␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈ε)␈αb␈ε#␈α↓,␈ε)␈αu␈ε#,␈αan␈α␈d␈ε)␈αp␈ε#␈α
tha␈α␈t
␈βα1␈↓ εY␈ε,b
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈ts␈α∞the␈α∞b␈α␈est␈ε)␈α∞p␈ε#-dig␈α␈i␈α↓t␈α∞b␈α␈ase␈ε)␈α∞b␈ε#␈α∂⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∞po␈α␈in␈α␈t␈α∞ap␈α␈pro␈α␈x␈α␈imation␈α
to␈ε)␈α∞u␈ε#␈α↓,␈α∂in␈α∞th␈α␈e␈α∞sense␈α∞o␈α␈f
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈ection␈α∞4␈α␈.␈α↓2␈α␈.2.␈α→U␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α∂th␈α␈e␈α∂a␈α␈ssum␈α␈ption␈α∞th␈α␈at␈↓ εI␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ π∂␈ε)b␈ε#␈α∂is␈α∞i␈α↓rra␈α␈tiona␈α␈l␈α∂an␈α␈d␈α∞tha␈α␈t␈α∂th␈α␈e␈α∂ra␈α␈ng␈α␈e␈α∂o␈α␈f
␈ββ∧␈↓ εt␈ε,B
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts␈αis␈αun␈α␈l␈α↓imited␈α␈,␈αpro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈ββi␈↓ ε∃␈ε"(␈↓ π⎇␈ε")
␈ββk␈↓ ∧k␈ε)u␈ε#␈α
=␈↓ ¬2␈ε#roun␈α␈d␈↓ ε!␈ε#ro␈α␈un␈α␈d␈↓ π␈ε#(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ π9␈ε)P␈↓ πR␈ε#),␈ε)␈αεp
␈ββw␈↓ ελ␈ε,b␈↓ εv␈ε,B
␈β∧5␈↓ 	E␈ε,P␈↓ 	Y␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ 
M␈ε,p
␈β∧:␈↓ ↓H␈ε#hold␈α␈s␈α∞for␈α
all␈ε)␈α∞p␈ε#-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α
ba␈α␈se␈ε)␈α∞b␈ε#␈α
⎇oa␈α␈ting␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈ε)␈α
u␈ε#␈α∞i␈α↓f␈α
an␈α␈d␈α
only␈α
if␈↓ 	,␈ε)B␈↓ 
⊂␈ε7∃␈↓ 
?␈ε)b␈↓ 
]␈ε#.␈α≡(In
␈β∧b␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ther␈α
w␈α␈ord␈α␈s,␈αan␈α
\idea␈α␈l"␈αinp␈α␈ut␈α
con␈α}v␈α␈ersion␈α
of␈ε)␈α
u␈ε#␈αin␈α}to␈αa␈α␈n␈αin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈αba␈α␈se␈↓ 	Z␈ε)B␈↓ 	s␈ε#,␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈α
by
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈n␈α\id␈α␈eal"␈αou␈α␈tp␈α␈ut␈αcon␈α}v␈α␈ersio␈α␈n␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αresu␈α␈lt,␈αwill␈αa␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α}ys␈αyield␈ε)␈αu␈ε#␈αaga␈α␈in␈αif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly␈αif␈αthe
␈β¬1␈↓ ↓H␈ε#in␈α}termed␈α␈iate␈αp␈α␈recision␈↓ ∧∀␈ε)P␈↓ ∧8␈ε#i␈α↓s␈αsu␈α␈itab␈α␈l␈α↓y␈α
l␈α↓a␈α␈rge,␈αas␈αsp␈α␈eci|␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
abo␈α}v␈α␈e.)
␈β¬d␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈3␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈αthe␈αd␈α␈ecimal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈αu␈ε#␈α
=␈α
(␈↓ ε7␈ε)u␈↓ ε←␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ π␈ε)u␈↓ π.␈ε)u␈↓ πQ␈ε#)␈↓ λ∧␈ε#be␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αa␈α␈s␈αthe␈↓ 
D␈ε#b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α␈-
␈β¬o␈↓ εK␈ε&7␈↓ π∨␈ε&1␈↓ πB␈ε&0␈↓ π\␈ε&10
␈βε␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ode␈α␈d␈αd␈α␈ecimal␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ∧≠␈ε)U␈↓ ∧@␈ε#=␈α(␈↓ ∧w␈ε)u␈↓ ¬ ␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬L␈ε)u␈↓ ¬o␈ε)u␈↓ ε⊃␈ε#)␈↓ ε9␈ε#.␈α∩Find␈αap␈α␈prop␈α␈riate␈αc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈↓ 	m␈ε)c␈↓ 
∩␈ε#an␈α␈d␈αm␈α␈ask␈α␈s
␈βε↔␈↓ ¬␈ε&7␈↓ ¬←␈ε&1␈↓ εα␈ε&0␈↓ ε≤␈ε&16␈↓ 	{␈ε,i
␈βε3␈↓ ↓H␈ε)m␈↓ ↓{␈ε#so␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
op␈α␈eratio␈α␈n␈↓ ∧6␈ε)U␈↓ ∧Z␈ε7␈ ␈↓ ¬¬␈ε)U␈↓ ¬&␈ε7␈␈↓ ¬M␈ε)c␈↓ ¬g␈ε#(␈↓ ¬r␈ε)U␈↓ ε∩␈ε7↑␈↓ ε0␈ε)m␈↓ εY␈ε#),␈αrep␈α␈eated␈α
fo␈α␈r␈ε)␈αi␈ε#␈α	=␈α	1,␈α2␈α␈,␈α3,␈αwill␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rt␈↓ ∩␈ε)U
␈βε>␈↓ ↓e␈ε,i␈↓ ¬[␈ε,i␈↓ εN␈ε,i
␈βεZ␈↓ ↓H␈ε#to␈α
the␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈ε)␈αu␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈α\␈ε7↑␈ε#"␈αd␈α␈enotes␈αex␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α(i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈α\log␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈↓ 
m␈ε#"␈αon
␈βε\␈↓ 
:␈ε∃AND
␈βπα␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈divid␈α␈ual␈αb␈α␈i␈α↓ts).
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓⊗↔~xx/FONT#14=cmsc9[XGP,SYS]=ACDEHIMNORSTVXX/FONT#21=cmtt9[XGP,SYS]==ACDHILMNRUXX/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=∂"$'()+,-./0123456789:;<=ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUWY[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=∪"$'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJLMNPRSTUWX[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇⎇/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=-0ABCDEGILMNORUYY/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=+0123488/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=01234567899/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=BEFMUbdefkmnqruwxx/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=∂012345678ABHJMOPUabcijmnpqruvwxyy/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=BEMbemnn/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=BJMPbijmnpp/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=ACEFNORSTUU/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=∞∩∪≤$-.:ACDEIJKMPSTWZ←abcdefghiklmnoprstuvwxyzz/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=EGOabcdefhilmnoprtxyy/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=-.012345679ABCDEFHMST↑abcdefghilmnoprstuvxyy/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.01234567899/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=+,-0125=ABCDEFHIJLMNOPRSTUVWXX/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓α∂∀∃bcfg⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓β∀∃ ↑bcfgjj/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]=.14ACDEINORSTVXabell